Question

Hi（受験生）

199.
時短で求められるのは解答の解き方だと思うのですが、
この解き方でも問題ないですか？？

312
基本例題 1992 曲線に接する直線
2つの放物線y=-x,y=x²-2x+5の共通接線の方程式を求めよ。
基本 196
指針 1つの直線が2つの曲線に同時に接するとき, この直線を2つの曲線の共通接線
① 一方の曲線 y=f(x) 上の点A(a, f(a)) における接線の方
程式を求める。
い
2② 1 で求めた接線が他方の曲線 y=g(x) と接する条件から,
gyor
αの値を求める。(()(2A)
接する重解の利用。
他にも検討で示したような解法も考えられる。
解答
y=-x2 に対して
y'=-2x
よって, 放物線y=-x2 上の点
(a, -α²) における接線の方程式は
y-(-a²)=-2a(x-a)
.........
接する
Ay
接する
y=x2-2x+5
[O y=-x2 x
(a, ,-a²)
(30
すなわちy=-2ax+a²
この直線が放物線y=x²-2x+5にも
接するための条件は、 2次方程式
x2-2x+5=-2ax+α² すなわち
x²+2(a-1)x-a²+5=0
ゆえに,②の判別式をDとすると
D=(a-1)^-1・(-α²+5)=2a²-2a-4=2(a+1)(a−2)
係数を比較して
la²=-62+5
よって, 求める共通接線の方程式は
M
②が重解をもつことである。
D=0
よって (a+1)(a-2)=0 ゆえに
a=-1, 2
この値を①に代入して、求める共通接線の方程式は
y=2x+1,y=-4x+4
検討 2つの曲線のそれぞれの接線を一致させて解く
上の例題の別解 (恒等式の考えを利用する。)
y=-x2上の点(a, -d²) における接線の方程式は
y=x2-2x+5 上の点 (6, 62-26+5) における接線の方程式は
y=-2ax+α²
2直線①②が一致するとき, その直線は共通接線となる。
-2a=2(6-1)
25
重要 200 演習 224
IEROS J
y-(b2-26+5)=(26-2)(x-b) すなわち y=2(6-1)x-62+5
M
これを解いて
y=2x+1,y=-4x+4
y=g(x)\
A
接線が求めやすい方の曲線を
指針の手順①のy=f(x) と
するとよい。
y-f(a)=f'(a)(x-a)
接する
y=x²-2x+5と
y=-2ax+α² を連立。
接する重解
~共通接線
y=f(x)
(a,b)=(-1,2),(2,-1)

2周目
例題199
foxy I've a se fox = -2x
2
gry
= x² = √2₁ +7 ²7 72 gay = 2x=2
f
2つの放物線y fol, y=g(x)が共通接線をもっとき、
27
1 foy & #12 a 2 d. (p, feel ),
を
①=g(x)と接線の共有点を点(g.g(8)をする。
2017 (
1 fol a $1.
X.-
1-fle) = -2plx-pl
2₁ 2 9 = -20² + P
y=g(x)の接線の方程式は、
4 - 200) = (28 - - )(x-q/
8₁ 24 = (20 - +/x +q²_ q + 5 = 28² + 2q
土
= (
20-21x-g=+5-①
a
y = foy, y = goy * trol".
-2px
2p² = ( 2q = ²)x - 8² 15
両通のどについて。同じ次数の項の便数は等しい。ぐ
-2P=2g-
P²²² 8² + 7
p² f = a ² = - -
1-8-②
© & (= 10² x 77e.
8-28 1+²=5
+
bg 2 = 0
&
( a - - 1 ( a + ²) = 0
b = -1
QUE D 1= 10 x 7 fr.
q=²-10²21 = - YN FY
9=2aをきり=2x+
[
したがっく求める共通接線の方程式は
1₁-42 - 4₁ 1=207/
NO.
DATE
tu
te

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

さすらいの理系

全く問題ありません。
ただ、係数比較をする際の式の左辺にp^2が抜けているので気をつけて下さいね。

Hi（受験生）

ありがとうございます！