Question

お

この問題が解説を見てもわからないので教えて欲しいです！

(1) f(x)=x2-2ax+2a+1 (x≧1) の最小値をg(α) とする.
I=w_X=% 6300
(i) g(a) を α で表せ.
(ii) g(α) の最大値を求めよ.
2 ol
lr-g+1 (x≧1) の最小値

35
(1) (i) f(x)=(x-a)^-a²+2a+1
より
st
軸<1,つまり a <1のとき
g(a)=f(1)=2
(ア)
(イ)軸≧1, つまり a ≧1 のとき
g(a)=f(a)=-a²+2a+1
(i) 下図のグラフを用いると,
g(α) の最大値は2である。酒
YA
2
y=g(a)=
O
1
a

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

さんげん

x^2-2ax+2a+1を平方完成すると
(x-a)^2-a^2+2a+1
x^2の係数が正なので軸(x=a)で最小値-a^2+2a+1をとる。
ただし今回はx>=1の定義域があるので、aの値が1より小さい時は頂点が範囲外なのでx=1で最小値をとります。
そのときはf(x)にx=1を代入して最小値2をとります。

最小値g(a)も二次関数なので平方完成して考えると
-(a-1)^2+2となり、a^2の係数が負なので、軸(a=1)で最大値2をとります。
また、a<1のときの最小値は常に2なのでf(x)の最小値の最大値はa<=1のときで2になります。