Question

原西

本当に助けて下さいもう無理ですどんだけ頑張っても理解できなくて最悪です急ぎです助けてください

(3)4^100 を7で割った余り　これを合同式で解こうと思ったのですが答えが全然違くて、解説を見たところなぜか4^100=(４^3)33・4と出ていて意味不明でした　↓下に続く
なぜ４を一つだけ出しているのか?なぜ4^3という事になっているのか(4^100が計算すれば(４^3)33・4であることはわかるのですが、なぜわざわざ３乗の形を取っているのか?というのが疑問です)

お願いします教えて下さい

合同式 クリアー 数a

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

塾講師 「たおたん先生」

こういう問題は【「割る数(今回だと7)の倍数」に近い数】を作ろうと考えると解きやすいです。
4を何乗かして【「7の倍数(7.14.21.28.35.42.49.56.63...)」に近い数】が作れないかと考えます。
4^1=4 (「7」と3違い)
4^2=16(「14」と2違い)
4^3=64(「63」と1違い)
なので64だと7の倍数(63)と1以外なので
64≡1(mod7)が使えて便利です。

4^100=4^(3×33+1)=(4^3)^33×4=64^33×4

64^33×4≡1^33×4 (mod7)
≡1×4 (mod7)
≡4 (mod7)

原西

何故4^100=4^(3×33+1)=(4^3)^33×4=64^33×4のところで、+1と分けているのですか?教えて下さい

塾講師 「たおたん先生」

目標が64(4^3)を１つの塊として考えていくので
4^100から64(4^3)を何個作れるかというイメージの
式変形ですね。
100個から3個の塊は33セット作れて1個余るということですね。

Answer 2

TAA

4^3=64
7×9=63

ということを踏まえるとわかるかもしれないです。要するに7で割って1余る数を作りたいわけです

原西

合同式ほぼ独学で曖昧なところもあり基礎のなってない質問になるかもしれませんが、合同式においてのあまりは必ず1でなければならないということですか❓