Question

りん

(2)が分かりません。2枚目が途中まで解いてみたものなんですが、この時点で方針が間違っているんでしょうか。教えていただきたいです。

20以上の整数の組(x,y) について,次の問いに答えよ。
(1) 3x +7y = 34 を満たす組(x,y) をすべて求めよ。
(2) 3x+7y=nを満たす組(x,y) をもたない 00以上の整数nの個数を求めよ。 また, そのようなnの中で最大の整
数を求めよ。
(3) αを3で割った余りが1である自然数とする。 a>1のとき, 3x+ay = n を満たす組(x,y) をもたない0以上の
整数nの個数をaを用いて表せ。 また, そのようなnの中で最大の整数をaを用いて表せ。

27 34+7g=n
-~-2) 3. (-2n) + 7 n = n
3(x+w)+7(y-m):0
3(x+20) = ~ 7 (Y-u)
ると7は互いに来だから
&+₂h =
-7k
| y-u = 3 k
x=-7-2m
(は整数)と考える
y = 3p+u.
満たすきがないようにするには
-7p-2n<0 #7212. 3p+h10 1 = " ε £r!.
-7k-onco
^<- 37.
20> - 7 k
u>- / / k.
2
- 1/24en < - 3/2

整数

Answer 1

こたつみかん

自分もまだ解いている最中で
申し訳ないですが、
最初にx＝-2nのときを考えたのが
まずいのでは無いでしょうか。
x、nはどちらもゼロ以上の整数なので、
x＝-2n(＝負の値)はxの定義域外です。

りん

そこから間違えてるのは気づきませんでした、
そもそもの考え方を変えた方がいいのでしょうか。

こたつみかん

おおー！解けました！6個です！！

まず問題文が分かりにくかったので、
xとyに具体的な数を入れて
nの値を見てみました。
すると、｢nが14以上のどんな数であっても
xとyの組み合わせ次第では表せるかも？｣
と仮説が立ちました。

つまり、この問題は
｢14以上の全ての整数は(x,yを0以上の整数として)3x+7yの形で表せる事を示せ｣
という問題なのかな、と考えました。

ではどうやって解けば良いか。
それは、y＝3k、3k+1、3k+2
(kを0以上の整数とする)と場合分けをして、
それぞれの場合でnがどんな値を取るかを
示せば良いです。
(x＝7m、7m+1、…、7m+6
(mを0以上の整数とする)としても
良いですが、7種類の場合分けは
時間かかるし大変なので割愛)
(おそらく同様に解けます。)

証明は写真の通りです。

りん

返信遅れてすいません、
なるほど！！この数字以上は成立するというその数字の求め方が分からなかったんですが、yを場合分けしたら7以上とか14以上の条件が出てくるんですね！
やっぱり最初は書き並べてみて仮定するのが大事だと分かりました、、
めっちゃ解説わかりやかったです！！ありがとうございました！！