Question

yyy

マーカーの部分の式の変形が分かりません。

366
基本例題 219 分数関数の不定積分
次の不定積分を求めよ。
x+5
(1)
x2-1
Sx³+x dx
(2)
-dx
(3)
x²+x-2
0000
S
x
(2x-1)dx
p.365 基本
(分母)
指針 被積分関数が
(分母)
形 [p.360 基本例題 214 (3)] ではないことに注意。
SE
(1)被積分関数は (分子の次数)(分母の次数) であるから 分子の次数を下げる。
x3+x_x(x2-1)+2x
2x
つまり
=x+
x2-1
2-1
x2-1
のように変形する。
(分母)
そして,
の式は
の形であることに着目。
(分母)
(2) 被積分関数は分母がx'+x-2=(x-1)(x+2) 因数分解できるから、部分分数に
解することを考える。
x+5
x2+x-2
b
a +
x-1 x+2
とおき,これをxの恒等式とみて, a, b の値を決める
(3) 分母が (ax+b)” の形であるから, 2x-1=t とおく。
千
【CHART
分数関数の
分子の次数を下げる
部分分数に分解する
不定積分 13
分母が (ax+b)” の形ならax+b=t とおく
解答
Sx²+xdx=√(x+ = 2x )dx=x+log|x²-1|+C
c+
(1) x² = 1
2
11 (2) Sx+5_zdx=(x-1)(x+2)dx=
(2)
x-1 x+2
() d x ( * )
=2log|x-1|-log|x+2/+C=th(/
(3)2x-1=t とおくと x=
(x-1)²
=log
+C
|x+2|
t+1
5(2x+1)dx=
(2x-1)+ dx=
t+1 1 1
2
dt=
+4 2
(2 dx=dt
+1) dt nia
t-2
++++(--)+c
=-1
24(3+2)+C=
-(3t+2)+C=--
by
2
6x-1
+C
24(2x-1)
■分子 x+x を分母
割ると 商 x, 余り
(*) 指針の(2)の分数式
x+5=α(x+2)+(x-
a+b=1, 2a-b
よって a=2, b=-
またはx=1, -2を
してα, bの値を求
よい。 なお、部分分
については、 「改訂版
ト式基礎からの数判
p.28, 36 を参照。
fxdx=
xa+1
・+0
a+1
(ただし
[(2) 茨城大(3)
(4)
3.
練習
次の不定積分を求めよ。
② 219 (x+2xdx
(2)
x
dx (3)
4x2+x+1
-dx

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

きらうる

部分分数分解です。
指針の所に
(x+5)/(x²+x-2)＝a/(x-1)+b/(x+2)とおき…
とかいてあります

yyy

ありがとうございます！