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メネラウスの定理を使うのであればAN:PNが出てくるような辺の比の取り方をして式を立てます。
メネラウスの定理は画像のような「三角形とそれを横切る直線が通る点の内分比・外分比について成り立つ定理」です。画像の場合、
AD/DB × BE/EC × CF/FA =1
です。これはどの頂点からスタートしてもいいので次のようにも覚えられます。
頂点分点/分点頂点 × 頂点分点/分点頂点 × 頂点分点/分点頂点 =1
問題の場合、この中に問われている AN:NP つまりAN/NP が出てくるように三角形と直線を考えれば解くことができます。
ベクトルでの解き方についてはここでちゃんと教えるのは難しいです。その解答を読んで意味分からないということはベクトルのこと全然分かってないですよね。ベクトルは最初からやり直した方が良いです。特に内分点とか一次独立のところですね。