Question

みかんちゃん

至急です。この問題の(2)の解き方がわからないので教えてください

半径3の球に内接する直円錐がある. 直円錐の高さは
3以上とし,球の中心Oと直円錐の底面の中心Mと
の距離をとするとき, 次の問いに答えよ.
(1) 直円錐の体積Vをの式で表せ。
(2)Vが最大になるときのxの値を求めよ.
QC
M

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

きらうる

円錐の底辺の円の半径は
√(9-x²)　となるので底面積は
π(9-x²)　となります。

直円錐の高さは
3+x
となります。

よって直円錐の体積をV(x)とおくと
V(x)＝(1/3)π(9-x²)(3+x)
　＝π(-x³-3x²+9x+27)
となります。

V'(x)=π(-x²-2x+3)
V'(x)=0
→　x²+2x-3=(x+3)(x-1)=0
→　x=1(∵0＜x＜3)

するとx=1の前後でV'(x)の符号は+→-と変わるので、V(x)はx=1で極大かつ最大になることが分かります。

よって求める直円錐の体積の最大値は
V(1)=32π/3
このとき底辺の円の半径＝√8=2√2
高さ＝4

みかんちゃん

ありがとうございます