Question

つくし

「任意の実数x,y,zが、2x-y+3z=5, 4x+y-z=9を満たすとき、ax+by+z=-25が常に成り立つような定数a,bの値を求めよ。」という恒等式の問題があります。4x+y-z=9を変形したy=9-4x+zをax+by+z=-25に代入すると、(a-4b)x+(b+1)z+9b=-25となります。
ここで右辺と左辺を比較すると、9b=-25, b+1=0となってbの値が1つに定まりません。なぜこういったことが起こるのですか？

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

もう一つの条件2x-y+3z=5を無視しているからです
x,y,zは2x-y+3z=5も満たさなくてはならないから、
(a-4b)x+(b+1)z+9b=-25が得られてから
直ちに係数比較できません

(a-4b)x+(b+1)z+9b=-25で係数比較するということは
(a-4b)x+(b+1)z+9b=-25がどんな実数の組(x,y,z)
に対しても成り立つということが前提になっていますが、
いま(a-4b)x+(b+1)z+9b=-25は
2x-y+3z=5を満たす実数の組(x,y,z)
に対してのみ成り立つのです

なお
>9b=-25, b+1=0となってbの値が1つに定まりません。
は、
「1つに定まらない」ではなく「1つも定まらない」です
前者はこれを満たすbが複数あるという意味です

つくし

なるほど。ご回答ありがとうございました。