Question

ひー

複素数平面
？のとこがよくわかりません。

2-16
(364) 第5草
例題 C2.8 複素数の絶対値(2)
複素数zが=-i を満たすとき,次の問いに答えよ .
(1)|zの値を求めよ.
(2)|z+2i|+|2z-i の値を求めよ.
考え方 (1) 2|=|-i|より,
|z5|=1
|2|-1=(|z|-1)(|z|+|z|+|z|+|z|+1)と変形する.
(2)|z+2i|2=(z+2i)(z+2i)=(z+2i)(z-2i)
|2z-i=(2z-i) (2z-i)=(2z-i (2z+i)
****
これと, (1) を利用する.
++
解答
(1)
2=-iより,||=|-i|
|||
|2|=1 i=||=|8|=||
|-i=1であるから,|
||=1+1=1080p+r/
|z|+|z|+|z|+|z|+1>0
|z|-1=(|z|-1)(|z|^+|z|+|z|+|z|+1)=0
したがって,
ここで, z|≧0 より,
よって,
||=1
(2) z+2i|2=(z+2i) (z+2i)
=(z+2i) (z-2i)=zz-2iz+2iz +4
6|2z-i-(2z-i)(2z-i)
iの両辺の
対値をとる。
|z|-1=0 または
||^+|z|+|z|+|||||
|z|2=zz
=(2z-i) (2z+i) =4zz+2iz-2iz+1
よって,
|z+2i|+|2z-i=5(zz+1)
ここで2z=|2|2=1 より +in+e=
(1)より,|z|=1
|z+2i|+|2z-i=5(1+1)=10
注
複素数平面上の図形 (p. C2-52~) では、 右の図の点P(z)は|z|=1
より単位円周上の点|z+2i|=|z(-2i)はP(z) A(-2i)
1C(i)
との距離, 2zil=2z-
i
2
の 12 - 1/2はP(2)とB(1/2)との
12
距離である。
PO=DO=1 より PA2=2PD'+1
よって, | z+2i2+|2z-i|=PA'+4PB2 となる. +0 +1
では,幾何を用い PA'+4PB' = 10 となることを証明する.
単位円と虚軸との交点をC(i), D(-i) とすると,Pが虚軸上の
点でないとき,△POAにおいて中線定理 (パップスの定理)から、
PA'+PO'=2(PD'+DO")
D(-i)
←-1
A(-21)
PO=1, BO=1/2より 2PB=PC2+
同様に, △PCO において PC2+PO'=2(PB'+BO^) が得られ,
+
・①
2
·②

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

赤城 (◕ᴗ◕🎀)

絶対値の定義により
|-i|=|0+(-1)i|=√0²+(-1)²=1