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空間図形は平面図形に落とし込んで考えることが大切です♪
いきなり△BGDの面積を求めようとするのではなく，△BGDの辺がそれぞれどの平面上にあるか考えます。辺BGなら面BFGCに，辺DGなら面CGHD，辺BDなら面ABCD上にあります。
１辺が6cmの立方体なので，面BFGC，面CGHD，面ABCD は１辺が6cmの正方形ですから，面BFGCで考えると，△BGCは１辺が6cmの直角二等辺三角形になります。すると
辺BGは1:1:√2 で6√2cm になります。
辺BG = 辺DG = 辺BD なので，△BGDは１辺が6√2cmの正三角形ということになります。
正三角形は頂点から底辺に垂線を下ろすと，30°,60°,90° の直角三角形２つに分けられるので，1:2:√3 で正三角形の高さは 3√6cm になります。
底辺 6√2cm × 高さ 3√6cm ×½ = 18√3 cm² が△BGDの面積になります。
三角錐C-BGDの体積を考えるとき，Cを頂点，△BGDを底面として考えると高さがわかりません。問題文のヒントにもあるように，高さがわかるように頂点と底面が垂直になる面を探しましょう。例えばBを頂点として△CDGを底面と考えるとBC⊥CD, あるいはBC⊥CGになりますよね。よって底面が△CDGで高さがBC=6cm だとわかります。
よって三角錐B-CDG は△CDG × 高さBC で求められるので，
△CDG(6×6×½) × 6 ×⅓ = 36cm³
(1)(2)より，△BGDの面積が 18√3 cm² で，三角錐B-CDGの体積が 36cm³ とわかるので
三角錐C-BGDの高さは，
△BGD(18√3cm²) × 高さ ×⅓ = 36cm³ より，高さ＝2√3cm
詳しくありがとうございます😭😭✨️