Question

トナ

この問題の(Ⅰ)から何をしているのかが理解出来ず困っています。何をしているのか解説できる方お願いします。

練習 αを定数とする. 0に関する方程式 sin' +2acos0+a-3=0について,この
133 方程式の解の個数をαの値の範囲によって調べよ. ただし,0≦02 とする.
***

133
a を定数とする.0 に関する方程式 sin' +2acos+a-3=0について,この方程式の
解の個数をαの値の範囲によって調べよ。 ただし, 002 とする.
解1 与式より
(1-cos20)+2acos0+a-3=0
......①
| sin+cos'0=1
ここで, cosd=t とおくと,
tl
また,t=-1,1のとき, 対応する0の値は1個
-1<t<1 のとき, 対応する 0 の値は2個
①は, t2-2at-a+2=0 ......2
この左辺をf(t) とおくと,
π
--------
0
20
+1
f(t)=(t-a)2-a-a+2
よって, y=f(t) のグラフは,軸が直線 t=αで下
に凸の放物線である.
ここで,②が実数解をもつのは,f(t) の頂点のy座標
が0以下のとき, すなわち, -d-a+2≤0 より,
a≦-2, 1≦a のときである.
(i) a≦-2 のとき
軸は区間の左側にあり,
f(1)=-3a+3≧9
よって、②が t = -1 を
解にもつとき, すなわち,
f(-1)=a+3=0 より,
a=-3 のとき,与えられ
方程式は解を1個もつ.
1
また, ②が-1<t<1に解をもつとき,すなわ
ち,f(-1)=a+3<0 より, a<-3 のとき,与え
られた方程式は解を2個もつ.
-3<a≦-2 のとき,与えられた方程式は解をも
たない.
(ii) -2<a<1 のとき
②は実数解をもたない.
(ii) a≧1 のときター
軸は区間の右端または右
側にあり,f(-1)=a+3≧4
よって, ②がt=1 を解
にもつとき,すなわち,
f(1)=-3a+3=0 より,
a=1 のとき, 与えられた
方程式は解を1個もつ.
また,② が 1 <t <1 に解をもつとき, すなわ
ち,f(1)=-3a+3 < 0 より, a > 1 のとき, 与えら
れた方程式は解を2個もつ.
以上より, a<-3 のとき, 2個
a=-3 のとき, 1個
-3<a<1 のとき, 0個
a≦-2より,
-3a≥6
1-3a+3≧9
対応する 0 の値は1個
-20
不
対応する0の値は2個
の
f(1)>0より,f(-1)<0
とき,-1<t<1 で解をもつ.
la≧1より, a+3≧4
対応する0の値は1個
対応する0の値は2個
f(-1)>0より,f(1) <0 の
とき, -1<t<1 で解をもつ.