Question

黎

(2)が全くわからないので詳しく解説してほしいです🙇🏻‍♀️

66
第3章 2次関数
基礎問
38 最大・最小 (IV)
x,yがすべての実数値をとるとき, z=x2-2.ry+2y2+2.x-4y+3
について,次の問いに答えよ.
(1)yを定数と考えて, xを動かしたときの最小値をyで表せ.
(2)(1)において,yを動かしたときの最小値を考えることで,
zの最小値とそのときのx,yの値を求めよ.
変数が2つ(xとy)ありますが, 37 のように文字を減らすことが
精講
できません.このような場合でも、 変数が独立に動くならば、片方
の文字を定数と考えることによって,最大値や最小値を求められます.
解答
(1) z=x2-2(y-1)x+2y2-4y+3
={x-(y-1)}2-(y-1)2+2y2-4y +3
={x-(y-1)}2+y2-2y+2
よって,m=y2-2y+2
(2)m=y2-2y+2=(y-1)2+1
.. z={x-(y-1)}2+(y-1)2+1
{x-(y-1)}2≧0, (y-1)2 ≧0 だから
x-(y-1)=0 かつ, y = 1, すなわち
x= 0, y=1のとき, 最小値1をとる.
ポイント
式をxについて整理
◆平方完成
A, B が実数のとき
A2+B2≧0
等号は A=B=0
のとき成りたつ
2変数の関数の最大・最小を求めるとき, それらが独
立に動くならば,片方を定数と考えてよい

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

こんぱち

zが最小となる→zの最小値(yで表された式)も最小となっているはず→まずその最小値の最小値を求める

「最小値が最小」ってわけわかんないと思いますが、今回zの最小値mがyという文字を使って表されているので、
yを固定することをやめて(定数ではなくして)動かして考えることになります。そうするとyが1のときにmが最小であるとわかるので(平方完成して考えます)、つぎにそのときにxがどうなるかを考えます。そすると今度はxが0のときに最小になるとわかります。
これでzの最小値がわかりました。

黎

わかりやすい解説ありがとうございます！！