Question

絶対合格

この問題教えて欲しいです！

緑の父
[ 青チャート数学C 例題52]
座標空間に原点O と点A(1,2,3),B(2,0, 4), C(3, -1, 5) がある。 このとき
ベクトル OA + AB+yACの大きさの最小値と,そのときの実数x, y の値を求めよ。

Answer 1

Take

平方完成を２回する問題です。
（解答）
以下、ベクトルABを記号【AB】で表すことにします。　←ベクトル記号を表記できないため
【AB】=(1,2,1) , 【AC】=(2,1,2) であるから、
【OA】+x【AB】+y【AC】
=(1,-2,3)+x(1,2,1)+y(2,1,2)
=(1+x+2y,-2+2x+y,3+x+2y)
よって、
(大きさ)²=(1+x+2y)²+(-2+2x+y)²+(3+x+2y)²
=14+6x²+9y²+12xy+12y
=6x²+12yx+(9y²+12y+14)　←x について降べきの順
=6(x+y)²+(3y²+12y+14)　←x について平方完成
=6(x+y)²+3(y+2)²+2　←y について平方完成
よって、x+y=0 , y+2=0 のとき (大きさ)² の最小値は 2 になる。
ゆえに、(大きさ) の最小値√2( x=2 , y=-2 のとき)　■
となります。