Question

もちもち

【極大値、極小値を持つ条件】
この問題の（1）でf(x)の導関数が異なる二つの実数解をもつことを示すところまでは分かったんですが、なぜそのあと符号が変わることを言わなければならないのかわかりません。f(x)の導関数は二次関数で、判別式>0からx軸と二つ共有点を持つので符号が変わることは自明ではないんですか?

x+b
関数 f(x)=-
(a, b は定数,a> 1) について,次の問いに
x2+2x+a
答えよ.
(1) f(x)は極大値, 極小値をもつことを示せ.
(2)極大値,極小値を与えるxをそれぞれ, X1, π2 とするとき,
(x+1)f(x1)(x2+1)f(x2) は a, b に無関係な一定値であることを
示せ.
(3)a=3,6=1のとき, 極大値, 極小値を求めよ.
精講
(1) f'(x)=0 をみたすxの存在を示すだけでは不十分.その次の
前後でf'(x) の符号が変化することを述べなければなりません.
(ⅡB ベク
(2)(x+1)f(x) と (x2+1)f(x2)の2つについて議論する必要はありません.
「ともにf'(x)=0の解」という意味で同じ扱いができます.
(1) f'(x)=
解答
1·•(x²+2x+a)−(x+b)(2x+2)
(x2+2+α)2
|商の微分:60
-x2-26x+a-26 -(x2+2bx-a+26)
(x2+2x+α)2
f'(x)=0 とすると
(x2+2x+α)2
x2+2bx-a+26=0 ...... ①
①の判別式をDとすると,
2=b+a-2b=(b-1)+a-1>0 (a>1より)
よって,①は異なる2つの実数解をもつ.
このとき、f'(x) の符号は, ('+2x+α)>0 だから
y=-x+2bx-α+26)の符号と一致する.
右のグラフより, f'(x) = 0 となるxの前後で,
f'(x) の符号はーから+, +からの順に変化
するので, f(x) は極大値と極小値を1つずつ
もつ.
+
y=-x2-2bx+a-2b
XC

微分 極値

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

確かに自明といえば自明で、普段は書かないことが多いです
しかし、ここは極値をもつことを証明するので、
極値をもつということはどういうことかを
誰にもわかるように明示すべきかと思います

「f'について判別式>0だから極値をもつ」だと
説明が足りないように思います
極値といったら正負の変化というのが
ここで求められる説明かと思います

もちもち

なるほど、またもや問題で求められていることに当てはまるように答えろと言うことですね。返答ありがとうございます！
一つ質問なんですが正負の変化を書かないと原点くらいますかね？

和

それは採点基準によります

極値の存在条件は、この場合
f'(x)=0となるxがあり、
そのxの前後でf'(x)の符号が変化する
なので、私ならそのくらい明記します

もちもち

わかりました！ありがとうございます