Question

ゆゆゆ

(3)がわからないです。
なぜ範囲が-2≦2a<-1になるのかがわかりません。
私は、-2<2a≦-1になると思ったのですがこれは間違いですか？

実戦問題 11 2つの2次不等式の解の関係
αを定数とし,次の2つの2次不等式について考えるー(z)認定
2x-5x-3>0... ①, x2-2(a+2)x +8a < 0 ... ②
■アイ
(1)不等式①の解はx<
エ <xである。
(2)不等式 ②を満たす実数xが存在するとき,αキオ である。
a キ オ とすると,不等式 ② の解は
a < オのときカ a<x<キ,a>オのときク<x<ケαである。
(3)不等式①,②を同時に満たす整数xがただ1つだけ存在するとき、定数αの値の範囲は
シス
コサ sa<
ソ
<a≦チである。
解答
(1) ① の左辺を因数分解すると
(2x+1)(x-3)>0
よって, 不等式① の解は
x-
1
2'
3<x
112x20
(x)
実戦
(1) a,
b =
この
ある
ソロ
[2]
m
m =
解答
(2)②の左辺は,x2-(2a+4)x+8a=(x-4)(x-2a) と因数分解でき 不等式 ②の左辺を因数分解し
る。
よって、②
(x-4)(x-2a) <0... ②'
HOA
2a = 4 すなわち a=2のとき②' は (x4)2 <0となり,この不等
式を満たす実数x は存在しない。
大
よって、 不等式②を満たす実数x が存在するとき
a 2
Key 1
して
小さ
2a<x<4
Key
a≠2 とすると,不等式 ② の解は, 2αと4の大小によって場合分け
2a < 4 すなわち α <2のとき
2a> 4 すなわち α > 2 のとき 4 <x<2a
(3) (i) <2のとき
D
81+18 +18
不等式①,②を同時に満たす整数xがただ1つだけ存在するとき
右の数直線より,その整数はx=-1であり,αの値の範囲は,
Key
2
−2≦24 < - 1 であるから
1
-1≦a<-
34 x
2
2a
1
2
(ii) α > 2 のとき
(ST+
不等式①,②を同時に満たす整数xがただ1つだけ存在するとき,
右の数直線より, その整数はx=5であり,αの値の範囲は,
52a ≦ 6 であるから
5
<a≦3
1
3456
2
.2
2a
1 15
(i), (ii)より
-1≤a<-
<a≦3
2'2
より
a-7)=0
(6-)-21
て考える。
2a=-2 も含むか注意する。
2α=-2 のとき, ① ②を同
時に満たす整数はx=-1の
1つだけであるから, 2α = -2
も含む。
2a6も含むか注意する。
2α = 6 のとき, ① ② を同時
に満たす整数はx=5の1つ
だけであるから,2a=6も含
む。
Key
Ke

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

しゃち

まず前提として、②の解では不等式にイコールを含んでいません。
2a<x<-1/2の間に一つ整数を含むには-1/2に一番近い-1が整数xです。
2aの不等号にはイコールがないことから、2aが2であっても2を含むことはありません。
しかし、2aが-1の場合、イコールがないのでそもそもxに-1を含むことができなくなります。
実際に2aを数値に置き換えて考えてみるとわかりやすいかもしれません。

ゆゆゆ

続けての質問申し訳ないです。②の解で不等式にイコールを含んでいないのに、なぜ解答ではイコールが出てくるのでしょうか？

しゃち

②の不等式の解はxについてです。
解答の不等式はaについてなので、②にイコールを含んでいるかどうかはみているものが違うので関係ありません。

ゆゆゆ

ありがとうございます！！！理解することができました！！