Question

星光

次の(1)の問題で青い線の4はどこから出てきたのでしょうか解説お願いします🙇‍♂️

題 120
次の和 S,T をそれぞれ計算せよ.
(1)S=1•2'+32 +52 +…+(2n-1)・2"
(2)T=1・2'+2・2°+3・2++n・22n-1

120
(1) S=1.2+3•2²+5•2³+…..
+(2n-1).2"
2S 1.22+3·23+...
+(2n-3) 2+(2n-1)•2n+1
. S-2S
.
=2+2 22+ +2.2"-(2n-1) 2+1
=2(2+1-1)-4-(2n-1).2"+1
=-6-(2n-3)•2n+1
S=(2n-3) 2+1+6

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

S-2S
= 2 +2×2² +2×2³ +2×2⁴ +……+2×2ⁿ -(2n-1)2ⁿ⁺¹

の「2×2² +2×2³ +2×2⁴ +……+2×2ⁿ」は等比の和です
先頭の2は、今回は等比の和とは考えられません
そこで「2×2¹（つまり4）を足して引く」という操作をします
（同じものを足して引いているので、
全体としては±0で影響がありません）

2 +2×2² +2×2³ +2×2⁴ +……+2×2ⁿ
の部分は
2 「+2×2¹」+2×2² +2×2³ +2×2⁴ +……+2×2ⁿ 「-2×2¹」
になります
そうすると、先頭の「2」から「2×2ⁿ」までが等比の和
と捉えられ、その和は2(2ⁿ⁺¹-1) / (2-1) = 2(2ⁿ⁺¹-1)です
最後に「-2×2¹」つまり「-4」を付け加えたのを
忘れないように注意します
これが青線の「4」です

以上のようにわざわざ「足して引く」をしなくても、
S-2S
= 2 +2×2² +2×2³ +2×2⁴ +……+2×2ⁿ -(2n-1)2ⁿ⁺¹
= 2 +8(2ⁿ⁻¹-1)/(2-1) -(2n-1)2ⁿ⁺¹
= ……
とやってもいいです

星光

理解できました！有り難うございます！