Question

ゆうな

高1数学1のチャート102の例題についてです。
解説でやっていることは理解できるのですが、
共通解をαとおき、二つの式を繋いで、整理した式の判別式Dとして、それが＝0になるように計算し、kを出すことはなぜできないのでしょうか。（2枚目）

勘違いしているところが多いので、根本的な間違いだと思うのですが、教えてくれたら嬉しいですm(_ _)m

DOO
重要 例題
102 2次方程式の共通解
00000
2つの2次方程式 2x2+kx+4=0, x2+x+k=0がただ1つの共通の実数解をも
つように定数の値を定め、その共通解を求めよ。基本
指針
570
2つの方程式に共通な解の問題であるから,一方の方程式の解を求めることができ
たら、その解を他方に代入することによって、定数の値を求めることができる。しか
し、この例題の方程式ではうまくいかない。 このような共通解の問題では,次の解法
が一般的である。
2つの方程式の共通解を x =αとおいて、それぞれの方程式に代入すると
①, a2+α+k=0
2a2+ka+4=0 ......
これをαについての連立方程式とみて解く。
②から導かれる k=--α を ① に代入(kを消去)してもよいが, 3次方程式と
なって数学Ⅰの範囲では解けない。 この問題では,最高次の項であるα2 の項を消去す
ることを考える。なお,共通の「実数解」という問題の条件に注意。
定
CHART 方程式の共通解 共通解をx=α とおく
葬共
171
重要 122
解く。
は、
3章
11
1 2次方程式
......
解答
共通解を x=αとおいて, 方程式にそれぞれ代入すると
2a2+ka+4=0 D, a²+a+k=0( (2)
①-② ×2 から (k-2)a+4-2k=0
ゆえに
= (x))
α の項を消去。この考
(k-2)(a-2)=0
Za F3 F45
よってまた
または α=2
k=2
え方は、連立1次方程式
を加減法で解くことに似
ている。
[1] k=2のとき
0=+x+x
2つの方程式はともに x'+x+2=0 となり, この方程式 数学Ⅰの範囲では,
73
の判別式をDとすると D=12-4・1・2=-7
D<0 であるから,この方程式は実数解をもたない。
x2+x+2=0の解を求め
ることはできない。
ゆえに、2つの方程式は共通の実数解をもたない。(x)-0
[2] α=2のとき
②から [22+2+k=0よってk=-60sα=2を①に代入しても
このとき、2つの方程式は2x2-6x+4=0, x2+x-6=0
0 すなわち 2(x-1)(x-2)=0, (x-2)(x+3)=0 とな
それぞれ x=1,2; x=2, -3
よって、2つの方程式はただ1つの共通の実数解 x=
以上から
=-6, 共通解はx=2の
よい。
注意 上の解答では,共通解 x=αをもつと仮定してやkの値を求めているから,
求めた値に対して,実際に共通解をもつか、または問題の条件を満たすかど
うかを確認しなければならない。

102 22² kx 14 = 2° 12+k
x² + x (-1) + 4-1 = 0
2
D= (k-1) - 4 (4-(c)
- k²-2k+1-16+4kc
k² + 2k -15=0
- k²+2k
(45X-3) = 0
k = -5,3

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

数学にわか

こんにちは！
簡単な解説を添付いたしましたのでご確認ください。
分からない部分、読めない部分等ありましたら遠慮なく仰ってください🙇‍♂️

ゆうな

わかりやすい回答ありがとうございます！
もう一つ質問なのですが、判別式では解が重解で共通のものしかもとめられないのでしょうか？
共通解をαと置いた時、一つだけ共通な解があるというのはわかります。

Answer 2

たらきんとん

D=0というのは接する条件であって、共通の解αを持つ条件ではないということですね。
GeoGebraに代表される、関数グラフを無料で作成出来るサイトで
描いてみると感動出来る(＝忘れない記憶として身につく)のでおすすめですよ。

ゆうな

わかりやすい回答ありがとうございます！
テスト終わったらやってみます٩(๑❛ᴗ❛๑)۶