Question

ｎｅ

数学Bサクシード254
青以降の解説がわかりません
解説お願いします

[サクシード数学B 問題254]
平面上にn個の円があり,それらのどの2つも異なる2点で交わり,また,どの3つも
1点で交わらない。これらのn個の円が平面を an個の部分に分けるとき, an をn の式
で表せ。
254
指 針
解
答 編
245
n個の円が平面を
an
個の部分に分けているとき
新たに (n+1) 個目の円をかくと, 分割された部
分がいくつ増加するか考える。
1個の円は平面を2個の部分に分けるから
a1=2
n個の円が平面を an個の部分に分けている。
(n+1) 個目の円 Cn+1 をかくと, Cn+1 はn個の
円と2n個の点で交わる。
これらの交点で Cn+1は2n 個の円弧に分かれ,
これが新しい境界になるから, 分割された部分
は2n 個増加する。
ゆえに
an+1=an+2n
よって, 数列 {an} の階差数列の第n項は
2n
したがって, n≧2のとき
n-1
an=a1+2k=2+2.1/2(n-1)n
=n2-n+2
......
①
a1=2であるから, ①はn=1のときにも成り
立つ。
よって
an=n2_n+2