Question

北大受験生

ABCは正三角形〜ここってなぜ重心になるのか教えてほしいです

空間内に中心をOとする球面Sがあり, 球面S上の4点A,B,C,D は四面体の頂点をなしてい
る.また,AB=AC=BC=√2, AD=BD=CD=
√7
を満たしている. 直線 AO と平面 BCD
との
交点をPとするとき, AP を AB AC AD を用いて表せ
2
出題のねらい

D
A
-----
C
B
H

HAB+ A AC
ここで,△ABCは正三角形なので点Hは△ABCの重心でもある
ので,
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Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

Hが△ABCの重心になるのは、
Hが△ABCの外心であり、
正三角形では外心と重心が一致するからです

Hが△ABCの外心になるのは、
AH=BH=CHになるからです

AH=BH=CHになるのは、
△DAH、△DBH、△DCHが合同だからです
（直角三角形の斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい）

北大受験生

重心って2対1に分割するところですよね？
どうやって証明するんですか？

和

それは「正三角形では外心と重心が一致する」
ことの証明ですか？

重心は中線の交点、
外心は辺の垂直二等分線の交点なので、
これらが一致するのはすぐわかります

定義が肝心です