Question

男鹿

「赤玉6個と青玉4個をA, B, Cの3人に分けるとき、3人とも少なくとも1個の球をもらう場合の分け方の総数を求める問題で、解答では a, b, c（A, B, C のもらう赤玉の数）について場合分けして計算していますが、なぜ以下のように分類され、それぞれの通り数になるのかが理解できません。
a, b, c に 0 がない場合（すべての人が赤玉をもらう場合）: 150通り　
a, b, c にちょうど 1 つ 0 がある場合（1人だけ赤玉をもらわない場合）: 50通り × 3
a, b, c にちょうど 2 つ 0 がある場合（2人が赤玉をもらわない場合）: 6通り × 3
この分類の妥当性や、それぞれの通り数の計算方法を詳しく知りたいです。」

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

この問題は、
　区別のつかない玉10個をABCの3人に分ける（0個はダメ）
というタイプの典型問題を前提にしていると思います
↑の問題の典型的な解き方「○と|を並べる」を知らないなら、
まずはそちらを参照してください

知っているなら、今回質問の計算もわかるはずです

☆赤玉をもらわない人が0人……
・赤玉6個の分け方は「0個NG」で、
　○6個の間5か所に|2個を入れるので5C2=10
・青玉4個の分け方は「0個OK」で、
　○4個と|2個の並べ方で6C2=15
・よって15×10=150

☆赤玉をもらわない人がちょうど1人……
・誰がもらわないかで3通り
・赤玉6個の分け方は「0個NG」で、
　○6個の間5か所に|1個を入れるので5通り
・青玉4個の分け方は、最終的に0個の人がいてはダメなので
　先に1個渡しておき、残り3個を3人で分けます
　このもとで「0個OK」で、
　○3個と|2個の並べ方で5C2=10
・よって3×5×10=150

☆赤玉をもらわない人がちょうど2人……
・誰がもらわないかで3C2=3通り
・赤玉6個の分け方は1通り
・青玉4個の分け方は、最終的に0個の人がいてはダメなので
　2人先に1個渡しておき、残り2個を3人で分けます
　このもとで「0個OK」で、
　○2個と|2個の並べ方で4C2=6
・よって3×1×6=18

「妥当性」とあえて書いてあるのですが、
正しいことを述べる以上に、何をどう説明すれば
妥当と思ってもらえるかわかりません

男鹿

いつもわかりやすく丁寧に解説してくださり、本当にありがとうございます。おかげで理解が深まり、とても助かっています。これからもよろしくお願いいたします。