Question

はん

pは素数~であり、pCrはpで割り切れるについてなぜ言えるのかわかりません、どなたかもう少し噛み砕いてこの説明をしていただけたら嬉しいです。回答お願いします

000
基本55
した。
化
を代入。
を代入。
重要 59 フェルマの小定理に関する証明
00000
は素数とする。 このとき, 自然数nについて,n-nがの倍数であることを
数学的帰納法によって証明せよ。
指針
解答
[類茨城大]基本56
n=k+1の場合に(k+1)が現れるが,この展開には二項定理(数学ⅡI) を利用する。
よって
(k+1)=k+pCik-1+pCzkP2++pp-ak+pCp-ik+1
(k+1)-(k+1)=pC1k-1+Czk2++pCp-zk+pCp-skk-k
n=kのときの仮定より,k-kはかで割り切れるから,pCi, pC2,.......
ち (1≦x≦p-1) がpで割り切れることを示す。
n-nはかの倍数である」 を①とする。
[1] n=1のとき 1'-1=0
よって, ①は成り立つ。
Cp- すなわ
合同式(チャート式基礎からの数学A) を
利用してもよい (解答編 p. 352,353 参照)。
......
②と
[2]n=kのとき① が成り立つと仮定すると,k-k=pm(m は整数)
おける
n=k+1のときを考えると、 ② から
(k+1)-(k+1)=k+pC1kp-1+pCzko+....+pp-2k+pCp_ik+1_(k+1)
503
1
章
⑥数学的帰納法
一代入。
=pCike-1+pCzkp+......+pCp_2k+pCpk+pm ...... ③
1≦x≦p-1のとき
p!
pCr=
(p-1)!
=
r!(p-r)!
r (r−1)!(p-r)! r
Pp-1Cr-1
12,22,
よって ropCr=ppiCr-1
♪は素数であるからとかは互いに素であり, Cr はμで割り切れる。
ゆえに,③ から, (k+1)-(k+1) はの倍数である。
したがって, n=k+1のときにも①は成り立つ。
[1], [2] から, すべての自然数nについて,n-nはpの倍数である。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

mi-

いま、r×C=p×C (コンビネーションの小さい数字は省略)
と表されているのでrまたはC(左辺の)はpの倍数でなければいけません。ここでrは1以上p未満なのでCがpの倍数になるしかありません。ということです！

はん

この性質はこういうものだと暗記しちゃって構わないでしょうか。それとも自然な発想なのでしょうか。自分では到底思いつかないと思いまして、、

mi-

多分初めましてなので、自分では思いつかないと感じるんだとおもいます。(結構そのようなことはありがち)
ですので暗記して使えるようにしてから、何回かこれを使う場面が出てくると思うのでそのうち慣れてきて自然とできるようになりますよ！

はん

ありがとうございます、助かりました！