Question

みえ

高校数IAです。
1つ目の写真が問題、2つ目の写真が模範回答です。
グラフGとx軸の-2<x<4の部分が、異なる2点A、Bで交わるようなａの値の範囲を求める問題で、
グラフGとx軸の-2<x<4の部分が、異なる2点A、Bで交わる条件として、模範回答の、[1]〜[4]になるのは理解できるのですが、
模範解答の黄色の線の①、条件[3]のところで、どうして「これは、すべての実数ａについて成り立つ」となるのかがわかりません。
また、グラフGとx軸の-2<x<4の部分が、異なる2点A、Bで交わるようなａの値の範囲(-1<ａ<0)のとき、線分ABの長さが3となるａの値を求める問題で、
模範回答の②のように、どうして急に判別式Dが出てくるのか、そしてどうして模範回答のような手順で答えが求められるのかがわかりません。
多いですが、どなたか解説お願いします🙇

| 42 | 3 章 2次関数
e
練習問題 9
★★☆
制限時間15分
αを定数とし, xの2次関数y=x2-2 (a+2)x +2a'+α のグラフをGとする。
グラフGの頂点の座標をαを用いて表すと (a + ア, d2-イαウ)であ
り,Gは下に凸の放物線である。
グラフGとx軸の -2<x<4 の部分が, 異なる2点 A, B で交わるようなαの値の範囲
は,エオ <a<カ である。
さらに,エオ <a< カ のとき, 線分ABの長さが3となるのは a=
[キク]
ケ
の
Aacとす
ときである。
D>0
> --

2
34
トライEX NEO 数学演習Ⅰ ・ A+Ⅱ・B・C (受験編)
練習問題 9
f(x)=x2-2(a+2)x+22 + α とおくと
f(x)=(x-(a+2)}- (a +2)2+2a2+a= { x-(a+ 2))2 + α2-3a-4
よって、グラフGの頂点の座標は
(a+72, a²-13a-4)
Gがx軸の2<x<4の部分と異なる2点で交わ
る条件は,次の [1]~[4]が同時に成り立つことで
ある。
<< D=b2-4ac とおくと
放物線y=ax2+bx+c の頂点は
D
4a
a+2
[1] (頂点の座標) <0 より
a²-3a-4<0
-2 O
x
すなわち
(a+1Xa-4)<0
a2-3a-4
<< 基本 9 1
下に凸であるから
D>
<0
(頂点のy座標
よって
-1<a<4 ...... ①
[2] 軸について
-2<a+2<4
よって
-4<a<2
[3] f(2)>0より
(-2)-2(a+2)-(-2)+2a2+a>0
すなわち
2a2+5a+12>0
2(a+1)²+7>0
これは,すべての実数aについて成り立つ。
42-2(+2) ・4+2a2+ α > 0
2a2-7a>05
[4] f(4) >0より
すなわち
a(2a-7)>0
よって
a<0,
<a.....
<< 基本 9 2
①~③の共通範囲を求めると
エオ_1 <a<0
また,グラフG と x軸との交
点のx座標は
x2-2(a+2)x+2a2+ α = 0
x=
2(+2)±√{-2(a+2)}2-4(2a2+α)
2
2
87-2
74
a
D={-2(a+2)}2-4(2a2+α) とおくと, 線分ABの長さは
2(a+2)+√D 2(a+2)-√D
2
2
=VD
よって√D=3
1 <a< 0 のときD > 0 であるから, 両辺を2乗すると
{-2(a+2)}2-4(2a2+α) = 9
(2a+1)2a-7)=0
整理すると
4a2-12a-7=0
よって
キク-1
1 7
したがって
a=-2
1 <a<0 より a=-
72
<<解法のポイント>>
放物線とx軸の共有点
f(x)=x2-2(a+2)x+2a2+α とすると, y=f(x) のグラフは下に凸の放物
線であるから,次の条件を満たすように,定数αの値の範囲を定める。
[1] (頂点のy座標) <0 (f(x)=0の判別式D>0 とすることもある)
[2] -2< (軸のx座標) <4
[3] (2)>0
[4] f(4) > 0
<< 基本 9 -3

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

1つ目…2次不等式でもよくある理屈です
2つ目…Dはそもそも解の公式の√の中身です
　数直線上の線分の長さは、
　大の座標-小の座標です

みえ

わかりやすい説明ありがとうございます！すっきりしました