Question

R

オレンジで囲っているところです

なぜ項数が7n-7m+1になるのかわかりません

問題2-4
mnは正の整数でmnとするとnの間にあって, 7を分母と
(同志社大改)
する既約分数の総和を求めよ。
方針
既約分数とは, 分母と分子が互いに素な整数からなる分数のことです。
例
10
・12/1は既約分数
約分できない分数のこと
14
は既約分数ではない (←2で約分できる)
K
既約分数でない
12
分数を可約分数
と言います
7 を分母とする既約分数の総和は, 7を分母とするすべての分数から,
既約分数でないもの (可約分数)を除いて求めます。
〈イメージ>
①5と7の間にあって, 3を分母とする既約分数の和
3
15 16
+ +
3
18
17
19
20
21
+
+
3
3
3
3+4+
3
赤字部分が消えて
既約分数のみ残る
15
+
3
18 21
+
3 3
5以上7以下で3を分母とするすべての分数 (A)の和 Aのうち可約分数の和

問題2-4 の解答。
m以上n以下で7を分母とするすべての分数 (A) の和Sは
7m
7m+1
S =
+
+
7m +2 +... +
7n
7
7
7
7
?
これは公差 / 等差数列の和であるから,項数は (77m + 1)個
S=
(m+n)(7n-7m+1) (初項+ 末頃) × 項数
2
←
2
A のうち, 可約分数の和 Tは
7m
7(m+1) 7(m+2)
7n
T=
+
+
+:
+
7
7
7
7
← 分子が7の倍数のとき
可約分数
=m+(m+1) + (m + 2) + … + n
これは,公差1の等差数列の和であるから, 項数は(nm+1) 個
(m+n)(n-m+1) (初項+ 末頃) × 項数
T ==
←
2
2
これより 求める和は
S-T=
(m+n)(7n-7m+1)(m+n)(n-m+1)
2
2
=
2
m+n
m+n {(7n-7m+1)-(n-m+1)} ←
m+n
が共通因数
2
=
6(n - m)
2
=3(n2-m²)

数列

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

🍇こつぶ🐡

7m項から7n項までの項数は、7n-7mを引いて最初の項数1を足す。

例えば、第2項から第4項までなら3項ある。4-2＝2項となってしまうから、最初の1項を足すと、4-2+1＝3項となる。これを7mから7nに応用する🙇

R

追加ですみません
なんでまず7m,7nなんでしょうか
／7入れなくていいんでしょうか

🍇こつぶ🐡

／7入れなくていいんでしょうか
＞／7は公差であり、項数でないから入れません🙇

🍇こつぶ🐡

なんでまず7m,7nなんでしょうか
＞問題文にm＜nとあるからm～nであり、画像2枚目1行めのSの式より、/7の項が7m,7m+1,……7nあるから🙇

R

ありがとうございました