Question

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この問題の(1)について質問です
なぜn=2kの時に2の倍数であることと3の倍数であることを証明しなくてもよいのですか？n=2kの時とn=3kの時とでは値が違うため2の倍数であることと3の倍数であることを条件が違う時に言っても6の倍数であるとは言えないのではないのですか？文章が分かりづらくすみません🙇🏻‍♀️どなたか教えて欲しいです！質問で分かりづらいところあったら言って欲しいです

題
262 連続する整数の積
nを整数とするとき, 次の問いに答えよ.
(1) 連続する3つの整数の積が6の倍数であることを示せ.
(2)2m²+3m²+nが6の倍数であることを示せ.
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考え方 (1) 連続する3つの整数は, 「n, n+1,n+2」 や 「n-1,n,n+1』 などの表し方が
(2)
ある.
6の倍数は,6×(整数)で表せるが,違う見方をすると,
6の倍数は,2の倍数である,かつ,3の倍数である.
このことから, 3つの連続する整数が,2の倍数であることと、3の倍数であること
を示す.
2+3m²+nを連続する3つの整数の積で表せないか考える。
(1) 3つの連続する整数の積をn (n+1) (n+2), kを整数とすると,
(i) n=2k のとき,
n(n+1)(n+2)=2k(2k+1)(2k+2
=2xk(2k+1)(2k+2)
2k: 偶数
2k+1 : 奇数
k(2k+1)(2k+2) は整数より, n(n+1)(n+2)は2の倍数
n=2k+1 のとき,
n(n+1)(n+2)=(2k+1)(2k+2)(2k+3)
=2×(2k+1)(k+1)(2k+3)
(2k+1)(k+1)(2k+3) は整数より, n(n+1)(n+2) は2の倍数
(ii) n=3k のとき,
n(n+1)(n+2)=3k(3k+1)(3k+2)
k(3k+1)(3k+2) は整数より, n(n+1) (n+2) は3の倍数
n=3k+1 のとき,
n(n+1)(n+2)=(3k+1)(3k+2)(3k+3)=3×(3k+1)(3k+2)(k+1)
(3k+1)(3k+2)(+1) は整数より, n(n+1)(n+2)は3の倍数
n=3k+2 のとき,
n(n+1)(n+2)=(3k+2)(3k+3)(3k+4)=3×(3k+2)(k+1)(3k+4)
(3k+2)(k+1)(3k+4) は整数より, n(n+1) (n+2) は3の倍数
(i), (ii)より,n(n+1) (n+2) は2の倍数であり3の倍数であるから, 6の倍
数である.
よって,3つの連続する整数の積は,6の倍数である。
次数の低い文字につい

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

木村【医塾】～受験の専門医によるオンライン個別指導塾～

とても良い着眼点ですね。

（i）は連続する3つの整数の積が2の倍数であることを証明しています。
そのため、nが2kのときと2k+1のときで分けて、どっちの場合でも2の倍数だと示しています。（nは2kか2k+1かのどちらかなので全ての整数を網羅しています）

同様に（ii）は連続する3つの整数の積が3の倍数であることを証明しています。
整数は3の倍数（3k）か3で割って1余る（3k+1）か3で割って2余る（3k+2）かのいずれかです。
どの場合でも連続する3つの整数の積が3の倍数であることを確認しています。

（i）（ii）から、どんな整数でも、連続する3つの整数の積は2の倍数だし3の倍数だから、結局6の倍数だよね、と証明しています。
伝わりますかね？

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ⅰの時もⅱの時もすべての整数を網羅していたのですね！理解できました✨️ありがとうございます！！