Question

yuzya

412の2番の問題です。
解説に極値を持たないのは実数解が1つだけ持つときと書いてあるのですが1つだけのときに極値が持たなくなるのはなぜですか？

50 412 次の条件を満たすように, 定数kの値の範囲を定めよ。
*(1) 関数f(x)=1/2x+kx²+ (k+2)x+1が極値をもつ。
1
3
(2) 関数g(x)=x+kx2-3kx+2が極値をもたない。

数学Ⅱ
A問題,
B問題, 応用問題
a
10のときa
yの増減表は次のようになる。
x
a
+ 0
極大
y
→
0
a
630
極42
+
極小
A
-a3
よって、 この関数は
x=αで極大値 0, x=
x = 1/3で極小値
4
27 a³
3
をとる。
(2)a=0のときy'=3x2
x=0のとき y'= 0,
x=0のとき y'> 0
よって,yは常に増加し, 極値はない。
(3)a>
の増減表は次のようになる。
X
...
y'
y
+
430
大
極42
極大
よって、この関数は
a
23
0
極小
0
0
+
解答編
-101
g(x) が極値をもたないのは, g' (x) の符号が変わ
らないとき, すなわち 2次方程式 g'(x) = 0 が実
数解を1つだけもつか、 または実数解をもたな
いときである。
この2次方程式の判別式をDとすると
D
11=k-3(-3k)=k2+9k=kk+9)
条件を満たすのはD0 のときであるから
(k+9)20
これを解いて
413
針■■■
f(x)が3次関数のとき, f'(x)は2次関数であ
るから、f'(x) ≧0が常に成り立つ条件を求め
るのに判別式が利用できる。
f(x)=x3+kx2+2x+3を微分すると
f'(x) =3x2+2kx+2
常にf'(x) 20であるとき, 関数 f(x) は常に増
加する。
f'(x) =3x2+2kx+2について,常にf'(x) 20
であるのは, f'(x) =0が実数解を1つだけもつ
か,または実数解をもたないときである。
2次方程式f'(x)=0の判別式をDとすると
D
=k²-3.2=k²-6
条件を満たすのは D≧0 のときであるから
k²-6≤0
これを解いて -
414 f(x)=x3-6x2 とすると
f'(x)=3x2-12x=3x(x-4)
x= 1/3 で極大値 2743, x=4 で極小値 0
f'(x)=0とすると
x = 0,4
をとる。
412(1) f(x)=1/2x+kx2+(k+2)x+1 を微分す
ると
f'(x)=x2+2kx+k+2
f(x)が極値をもつのは, 2次方程式f'(x)=0が
f(x) の増減表は次のようになる。
X
***
0
...
4
f'(x)
f(x)
+ 0
0 +
-32 7
異なる2つの実数解をもつときである。
この2次方程式の判別式をDとすると
O
D
=k-1(k+2)=k2-k-2
=(k+1)(k-2)
あるから
これを解いて k<-1,2<k
g'(x) =3x2+2kx-3k
(2) g(x)=x3+kx2-3kx+2を微分すると
異なる2つの実数解をもつのはD>0のときで
(k+1)(k-2)>0
y=x3-6x2| のグラフ
は,y=f(x) のグラフ
をかいて,そのx軸よ
り下側の部分をx軸に
関して対称に折り返し
たもので, [図] の実線
部分のようになる。
32
16.
O
-32
415 f(x) =x3+ax2+bx+c を微分すると
f'(x) =3x2+2ax+b

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

あ

g'(x)=0
の実数解が1つということはx軸と接している状態なので、g'(x)の符号は変化しません。
ゆえにg(x)は極値を持ちません。

yuzya

極小値か極大値どちらか一つだけある場合でもX軸に接することは無いのですか？

あ

はい。
x軸に接したとしたらg'(x)≧0が成り立ちますよね。
極大値はg'(x)の符号が+から-に切り替わるところ、
極小値はg'(x)の符号が-から+に切り替わるところに存在するのでg'(x)が常に0以上ならば極値を取り得ません。

yuzya

わかりました！ありがとうございます🙇🏻‍♀️՞