Question

なび🦋

この問題の解説をお願いします🙇‍♀️🙇‍♂️

(3)次の図の四面体 OABC は正四面体であり, 点, A', B', C' はそれぞれ三角形
ABC, 三角形 OBC 三角形 OAC, 三角形 OAB の重心である。 このとき、 四面体
OABCの体積をV, 四面体 O'A'B'C' の体積をV' とすると,V=5
である。
A
C'
B
B'
'A'
C
5
ア.3
イ. 9
ウ 27
エ
[ 解答番号 5〕
27
28

数学1a 図形 体積 正四面体

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

えだか

四面体O-ABCと四面体O'-A'B'C'は相似の関係にあり(＊)、その相似比は3:1、ゆえに体積比は3³:1³=27:1
よってV/V'=27……(答)

(＊)ベクトルなどを使えば証明可能
必要であれば後で追加します。

なび🦋

ベクトルとか以外で、相似ってことが分かる方法はありませんか？1Aしか、習ってなくてベクトル分からないです💦

えだか

プロフ見て数2Bまでやっていらっしゃると勝手に勘違いしてました。
大変失礼しました🙇🏻

ベクトル以外の証明だとこんなのがあります。

BC、CA、ABの中点をA''、B''、C''とおく。
この時△ABCと△A''B''C''は相似比2:1の相似の関係にある。……①
次に△A''B''C''と△A'B'C'について、
3点O、A'、A''は同一直線上にあり、OA':OA"=2:3
(∵A'は△OBCの重心)
同様に
OB':OB"=2:3
OC':OC"=2:3
よって△A'B'C'と△A"B"C"も相似であり、その相似比は2:3……②
①②から△ABCと△A'B'C'は相似であり、相似比は3:1となる。
ところで、△ABCは正三角形なので△A'B'C'も正三角形であるから、同様にして△O'B'C'、△O'C'A'、△O'A'B'も正三角形と分かるので、
四面体O-ABCと四面体O'-A'B'C'も相似であり、相似比は3:1になる(終)

なび🦋

すみません💦
わざわざありがとうございます！