Question

ゆうな

無限級数の範囲です。
検討の赤の下線部についてなのですが、例えばp＝1の時発散してp＝2のとき収束するのは、p＝2の時の方が分母が大きくなるスピードが速いからなのですか？

違いを教えて欲しいです

kx
+1
① とする。
[1] n=1のとき 21/2=1+1/2=1/2
+1
よって, ① は成り立つ。
[2]=mmは自然数のとき、①が成り立つと仮定すると+1
「このとき
2m
2m+1
21-21+1
k=1 k
k=1 k k=2+1k
1
2(+1) +2 +1 +2 +2
2"
+
+
2m+1
2+1+2+1+2+2 +......+
1
>" +1 + pos.2" = m+1 +1
2
2m+1
2
·2"=
よって, n=m+1のときにも①は成り立つ。
1
2m +2m
2m+1=2m2=2"+2"
1
2+2+2 (2)
2m+k
(k=1,2,
2m-1)
[1] [2] から すべての自然数nについて ① は成り立つ。ちとする
(2) S=1/2とおく。 n≧2" とすると, (1) から
k=1k
Sn
m
+1
k=1 k
limS=∞
2218
ここで,m→∞のときn→∞ で lim
lim(+1)=00
2
m10
8
と
したがっては発散する。
n=1 n
無限級数1/n の収束 発散について
lan≦bn liman=8⇒limbn= (p.343②)
881
00-16
数列{an} が 0 に収束しなければ,無限級数 2 am は発散するが(p.61 基本事項2②),こ
n=1
無限級数
46
の逆は成立しない。 上の (2) において lim
-=0であることから,このことが確認できる。
ugu
なお
n'
>1のとき収束, ≦1のとき発散することが知られている。
練習
上の例題の結果を用いて,無限級数方
は発散することを示せ。
p.81 EX 32
5

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

フラッグ

○○の方が△△よりも分母が大きくなるスピードが速いから…というのは当たりません。
赤線部の続きは
…ことが「知られている」となっています。
数学の本で「知られている」などと書かれるような内容は、
その本のレベルでは証明できない、もしくは極めて困難である場合がほとんどです。
具体的に、p=1やp=2の場合、収束するか発散するか？
というときにしたって、個別に議論するしかありません。
p=1のときは、画像の通り、発散します。
p=2のときは、実はπ^2/6に収束するのですが、それを高校数学の範囲で確かめるのは相当手間がかかります。
繰り返しますが、…よりも分母が大きくなる…というような理由で収束・発散が決まるわけではないのです。
お力添え出来なくてすみません🙇‍♀️

ゆうな

そういうことだったんですね。
わかるはずのないことを考え続けるとこでした

回答ありがとうございました🙇‍♀️🙇‍♀️