要例題 79
メネラウスの定理の逆のエモ
00000
△ABCの∠Aの外角の二等分線が辺BC の延長と交わるとき,その交点を
Dとする。 ∠B, ∠Cの二等分線と辺 AC, AB の交点をそれぞれ,E,F とす
ると3点D,E,Fは1つの直線上にあることを示せ。
p.378 基本事項 4.基本 75
CHART & SOLUTION
メネラウスの定理の逆
3点 D, E, F のうち, 点Dは△ABCの辺BC の延長上にあり,点E,Fはそれぞれ辺 AC,
AB上にある。 よって,
DC EA FB
BD CE. AF -=1 を示すことにより, メネラウスの定理の逆から、
3点D,E,Fが1つの直線上にあることを証明できる。
解答
直線 AD は,∠A の外角の二等分線であるから中
BD AB
......
DC AC
B&T
CHAD
CE BC
また,直線BE は∠Bの二等分線であるから
②
EA
BA
更に, 直線 CF は ∠Cの二等分線であるから
AF CA
=
③エモ
FB CB
① ② ③ の辺々を掛けて
BD CE AF
DC EA FB
AB BC CASAL
AC BA CB
·=1
よって,メネラウスの定理の逆により、3点D,E,Fは1つの直線上にある。
inf. 「メネラウスの定理の逆」 の証明 (p.378 基本事項 4 参照)
[1]
QR と辺BCの延長との交点をP'とする。 メネラウスの定理に
2点 Q,Rがそれぞれ辺 CA, AB上にあるとき (図 [1]参照), 直線
A
RO
BP CQ AR
より
=1
P'C QA RB
BP CQ AR
仮定から
=1
ゆえに
PC QA RB
BP-BC
P, P' はともに辺BCの延長上にあるから, P'はPと一致し、
3点P, Q, Rは1つの直線上にある。
2点Q,Rがそれぞれ辺CA, BA の延長上にあるとき (図 [2]
参照) も同様。
PRACTICE 79°
平行四辺形ABCD内の1点Pを、各辺に平行な直
線を引き, 辺 AB, CD, BC, DA
の交点を
D
B
C
[2]
R
ZA
C
B
