Question

みかん

対数方程式の問題です。変な計算してるなーとは自覚してるのですがどこで間違えてるか分からないので教えてください🙏

対数の大小比較 (対数不等式)
[1] a>0, a≠1のとき, 不等式loga(x+2)≧loga (3x+16) を解け
_2] 不等式 log73-310gx (7x)≦ー1 を満たす実数xの範囲を求めよ.
答
(富山大/学習院

[2]
log7x-310gx (7x)≦-1
4
④の左辺において,
logx(7x)=10g7(7x)
真数と底の条件から,x>0, x=1である. 底は1を除く正の数であ
log77+log7x1+log7x
log7x
==
log7x
log7x
となるから、④を整理すると,
1+log7x
log7x-3.
+1≦0
5
log7x
底を7でそろえた

2次関数、三角関数、対数を中心にして
ここで、log7x=1 とおくと、 ⑤より、
1-3.1+1+150
10g)、すなわちである
となる、⑥を満たすの範囲を、その正負に注意して求める。
> 0 とすると、⑥より、
-3-3
2-21-3≤0
(+1) (-3)MO
⑥の両辺にを掛けて分母を払ったが、とは正なので、
不等号の向きはそのままでよい
これより-13となるが、t 0 であるから, 03
<0 とすると、⑥より、
…①
2-3-31+120
WE
⑥の両辺にを掛けて分母を払ったが,は負なので、
不等号の向きは逆になる (負の数を掛けたため)
(+1) (-3)MO
これより -1,3≦t となるが, t<0 であるから, t-1
⑦、⑧より、⑥を満たすの範囲は,
t≤-1, 0<t≤3
少し巧妙ではあるが、⑥に(これはつねに正) を
掛ければ、t 0 と < 0 に分けなくてもよい。
⑥にを掛けると,
であるから、
log7x-1, 0<log7x≤3
t3-3t(1+1)+12 ≤0
logzx log77-1, log71<log7x≦log773
したがって,x>0, x≠1 に注意して,
0<x≦1, 1<x≦343
t(t2-21-3)≤0
(t+1)t(t-3)≤0
これより, 3次関数のグラフを考えると,
t≠0に注意して
ts-1, 0<t≤3
となる
解説講義
対数の大小比較 (不等式) は,底の値に注意して
底αが1<αの場合,
p<q⇔
logap <logaq
底αが0<a<1の場合, <q ⇔ logap>logaq
であることを利用する. [1] のように、底が文字になっている場合には、底が1より大き
か小さいかで場合分けをして考える 35 でも、同じような場合分けをやっている.
[2] は,底を7にそろえると⑤となる. log7x=tとおけば⑥となる. ⑤で10g7x を掛け
あるいは⑥でを掛けて分母を払って2次不等式を考えることになるが、注意しないとミ
をしてしまう. log7x (つまりt) の値は正の値も負の値もとる可能性がある!tが負の場合
は、両辺にt を掛けたときに不等号の向きを変えなければならない. そのため, tの正負
目して場合分けをする必要がある. 注意深く処理してほしいところである。
文系
数学の必勝ポイント
対数の大小比較, 対数不等式
真数を比較するときに、底の値に注意する (以下,x>0p>0として)
α>1のとき、 logax>logap
xp
0<a<1のとき, logax>logap⇔x<p (不等号の向きに注意!!

foxxx
1227
2
3
/
127
18x7
↓
10x7
-
3
-19x7-19x343x = -1
-(127×343x²-1
3
You 240/2³ <=Xxxx
zx
24012² = x
x (240/x²-1) = 0
λ (49x+1)(490x-1) 20

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

希

2行目から3行目ですね。

1/log_x(7) → log_x(7^(-1))

となっていますが、1/log_x(7) = (log_x(7))^(-1)
が正しいです。-1乗はlogを含めてかかっているので、7の指数に持ってくることはできません。

加えて、この手の問題を解く際は、底を変数に合わせるのではなく、今回でいうと7のような定数にあわせるように底の変換公式を用いると解きやすいです。

みかん

理解できました！ありがとうございます🙇🏻‍♀️‪‪´-