Question

波瑠

数3微分の問題です。解説の青いラインの「x<c<x+k または x+k<c<xを満たす」とあるのはなぜですか？平均値の定理の式の分母はa<c<bを満たす際b-aとなると思うので後者を満たすという理由が分からないです。また赤で囲ったところもよくわかないので教えてください。

67k, α は定数, 関数f(x)は微分可能であるとする。 limf'(x) =α のとき,
lim{f(x+k)-f(x)} を求めよ。
X18
81X

167 [1] 0 のとき
関数 f(x) はすべての実数xで微分可能である
から,平均値の定理により
f(x+k)-f(x)
(x+k)-x
· = f'(c),
x<c<x+kまたは x+k<c<x
を満たす実数 c が存在する。
よって
ゆえに
f(x+k)-f(x)=kf'(c)
lim{f(x+k)-f(x)}=limkf'(c)
x→∞
① から, x→∞のとき c→8
したがって
818
limkf'(c) = limkf'(c)=ka
x→∞
813
よって lim{f(x+k)-f(x)}=ka
x→∞
[2] k=0のとき
.....
(2
lim{f(x+k)-f(x)}=lim{f(x)-f(x)}
x-x
81X
=lim0=0
818
よって, ②はん=0のときにも成り立つ。
lim{f(x+k)-f(x)}=ka
以上から
x→∞

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

あ

細かく場合分けするなら、
k>0のとき平均値より、
f(x+k)-f(x)/x+k-x=f'(c)∧x<c<x+k
⇔f(x+k)-f(x)=kf'(c)∧x<c<x+k
をみたすcが存在する。
k<0のとき平均値より、
f(x)-f(x+k)/x-(x+k)=f'(c)∧x+k<c<x
⇔f(x+k)-f(x)=kf'(c)∧x+k<c<x
をみたすcが存在する。
この2パターンまとめてk≠0のときを記述しているんだと思われます。

波瑠

理解できました。解説ありがとうございます。