「袖がち[名詞] / なる[断定の助動詞]」が正解。
① なぜ「袖」と「がち」に分かれないの？
「〜がち」は現代語でも「〜しがち」のように接尾語として使われているが、古文の「袖がちなり（袖ばかりが目立つ）」という表現は、「袖がち」というひとまとまりの形容動詞の語幹として扱われている。
そのため、切り離さずに「袖がち」で1つの名詞（または形容動詞の語幹）と捉えるのが一般的。
② そのあとの「なる」は何？
直前の「袖がち」という状態を受けて、「〜である」という意味の断定の助動詞「なり」の連体形「なる」がくっついている。
これで「袖がち（に）なる」という状態をひとつのカタマリにし、直後の動詞「着て」を修飾する役割を持たせている🙇
