Question

きいろ

(3)の問題です。微分はでき、f'(x)＝2(k−cos2x)までできましたが、ここの後からがわかりません。解説お願いします。

1 200 関数 f(x) が次の条件を満たすとき, 定数kの値の範囲を求めよ。
(1)* f (x)=x+logx+
x
k
が常に増加する。
x2+k
(2) f(x):
==
が極値をもたない。
x+1
(3)* f(x) = 2kx-sin2x が極値をもつ。

Answer 1

🍇こつぶ🐡

極値をもつ条件
f'(x) の符号が変化するためには、方程式 f'(x) ＝ 0が解をもち、かつその前後で f'(x)の値が正から負、または負から正に入れ替わる必要がある。

f'(x) ＝ 0とおくと、2(k-cos 2x)＝0
cos 2x＝kとなる。

-1 ≦cos 2x ≦1だから、これを使い、kを場合分け。

①|k| ＞1 のとき：
cos 2x ＝ kを満たす xは存在せず、f'(x)は常に正または常に負となるため、極値をもたない。

②k ＝ 1または k ＝ -1 のとき：
例えば k ＝ 1 のとき、f'(x) ＝ 2(1 - cos 2x) ≧ 0となり、f'(x) ＝ 0 となる点はあっても符号の変化は起きない（常に単調増加、または単調減少）。したがって、極値をもたない。

③-1 ＜ k ＜1のとき：
cos 2x ＝ kを満たす xが存在し、その前後で必ず cos 2x は kより大きくなったり小さくなったりする。つまり、f'(x)の符号が変化する。

したがって、求める kの値の範囲は-1＜k＜1　🙇

Answer 2

ととろ

f'(x) = 2(k-cos2x)
極値を持つためには f'(x)=0 が解を持つ必要がある → cos2x=k … ①
-1≦cos2x≦1 だから ①が解を持つためには
-1≦k≦1

ととろ

上は必要条件
十分条件は①を満たすx=αに対して
x=αの近傍で f'(x) の符号が
正→負、または負→正 に変わること
k=±1 の時は満たさないので除外して
f(x)が極値を持つ必要十分条件は
-1＜k＜1