Question

May3

なんで軸の条件がいるんですか？

例題
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指針 3 次関数 f(x) が極大値と極小値をもつ
3次関数 f(x)=x+ax²+bx は極大値と極小値をもち,それらを区間
-1≦x≦1 内でとるものとする。 この条件を満たすような実数の組
(a, b) の範囲をab 平面上に図示せよ。
〔東京大〕
⇔ f'(x) =0が異なる2つの実数解をもつ
f'(x) =3x2+2ax+b
fb 正
f(x)
-
十正
2次方程式 f'(x)=0が相異なる2つの実数解をもち,それらがともに -1≦x≦1
の範囲にあるための a, b の条件を求める。
3x2+2ax+b=0 の判別式Dについて, D>0 から a²-36>0.
f'(-1)≧0, f'(1) ≧0 から
3-2a+b≧0
②,3+2a+b≧0
f(x)=3(x+1/3)32+b-/1/3であるから,放物線 y=f'(x)
64
①1
a
の軸の方程式はx=
3
で -1<-
1<- <1
ゆえに
-3<a<3
④
よって,条件を満たす点 (a, b) の存在範囲は, 1, ②,
③④の共通範囲で, 右の図の斜線部分。
ただし,境界線は, 放物線を含まず、他は含む。
-3
3
10
3
a

Answer 1

🍇こつぶ🐡

f’(x)は二次式であり、判別式と端点のf’(1)とf’(-1)だけ調べ、f’(1)＞0とf’(-1)＞0だけだと、-1≦x≦1に異なる2実数解を取らない場合もあるため、軸を考える🙇