Question

猫好き

(2)が、答えを見てもよく分かりません！
お願いします

Answer 1

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チャート

(1)は、cos2x−cosx=2t^2 −t−1 でいいですか？

(2)(ⅰ)(1)より、k=0のとき、
2ｔ^2 −t−1=0
(2t+1)(t−1)=0
t=−1/2、1

よって、cosx=−1/2、1 を解くと、
x=0、2/3 π、4/3 π

(ⅱ)t=±1のとき、xの解とtの解の個数は等しい。
t≠±1のとき、xの解の個数は、tの解の個数の2倍
である。

よって、題意を満たす条件は、2t^2 −t−1=k が
2つの実数解をもち、かつt=±1を解にもたない
ことである。

判別式をDとすると、
D= (−1)^2 −4×2×(−1−k) >0
k>−9/8
また、t=±1を解に持つとき、つまり、k=0、2 を
除く。

よって求めるkの範囲は、
−9/8<k<0、0<k<2、2<k

長くなってすみません。

猫好き

解答は、こんな感じです！

猫好き

二枚目の太字が、答えです！

猫好き

この問題で、判別式を、使う要素は、なんですか？？

チャート

−1≦t≦1 の条件を忘れてましたね。
tに条件がついていないときは、判別式を使って実数解の個数を調べるのが早いんですけど、この問題のように条件がついているときには、解答にある考え方が一番だと思います。判別式を使う解答も一応ありますが…

判別式を使う場合も、解答のような定数分離の考え方を使う場合も、どちらにおいてもやっていることは同じで、実数解の個数を判別しています。

判別式は実数解の個数を簡単な計算で求められます。
定数分離は、定数の部分を別々のグラフ(y=kなど)だと考えて定数を動かすことで、定数の値ごとの実数解の個数を求められます。
特に定数分離は、定数を分離した二次関数のグラフなどに、ある定義域が定められているときに、視覚的に判断できるため有効です。

猫好き

実数解の時、場合を、見て解き方を変えるということですね。
ありがとうございます。
助かりました。