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ユークリッドの互除法そのまんまなんですけど、
例えばyとxの最大公約数をdとおきます。そのとき
y=dp
x=dq
と表せます(p,qはそれぞれ整数)。元の式に入れると
dp=dq+k
となります。左辺がdの倍数なので、右辺もdの倍数です。よって
k=dt(tは整数)
と表せます。ここで
x=dq,k=dt
の形に着目すると、xとkの最大公約数がdになっています。
結果として、yとxの最大公約数はxとkの最大公約数になったわけです。
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そういうことだったんですね！
分かりやすい解説ありがとうございます！🙏