Question

ゲスト

数IIIの複素数平面についての問題なんですけど。どなたか1番でなぜkの不等式についてn+1が含まれるのか分かる人はおられますか？
また2番の解き方がさっぱり分かりません。
御手数ですが、よろしくお願いします

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

gößt

1番でなぜkの不等式についてn+1が含まれるのか、とはどこのことでしょうか？中央あたりにある「0≦θ/2π<1であるから 0≦k≦n-1」のところですか？

2番は誘導にのって、方程式をなんとか z^n=α の形にすることを考えます。元の方程式は3次ですから z³=α の形にしましょう

そこで平方完成ならぬ立方完成のようなものを考えています
z³+3iz²-3z-28i=0
より
(z³+3iz²-3z-i)+i-28i=0
(z+i)³-27i=0
(z+i)³=27i

これでだいぶ z³=α の形に近づきました。しかしまだ問題があります
α=cosθ+isinθ
の形にしないといけないですが、
27i=27(cos(π/2)+isin(π/2))
なので27が邪魔です。そこで先ほどの式の両辺を27で割ります
(z+i)³÷27=i
{(z+i)/3}³=i
これで z³=α の形になりましたね

いまn=3であり、また
α(=i)=cos(π/2)+isin(π/2)
なのでθ=π/2です。よって
α₀=cos(π/6)+isin(π/6)
ω=cos(2π/3)+isin(2π/3)
とすれば(1)より
(z+i)/3=α₀, α₀ω, α₀ω²
となります。あとはα₀とかωとかを求めて代入すればいいです

ゲスト

一番はおっしゃる通りのところです。kの範囲にn+1が含まれる理由を教えてください。

gößt

1番はn+1じゃなくてn-1ですよ。これなら分かりそうですか？

ゲスト

2番はとても分かりやすい説明ありがとうございます😊

ゲスト

θ/2πの範囲には1は含まれないはずなのに、θ/2π<= k < n-θ/2π にはなぜn-θ/2π(=n-1)が含まれちゃうのですか？しかも右の不等号には、=がついてないのに、最終的には=がついています。

gößt

θ/2πの範囲に1が含まれないことが、むしろ役に立っています

kについての不等式
-θ/2π≦k<n-θ/2π
が得られたので、これを満たす整数kを全て求めたいわけです

ここで、θ/2π<1より
-1<-θ/2π
n-1<n-θ/2π
なので
-θ/2π≦n-1<n-θ/2π
は成り立ちます。よってk=n-1も上の不等式の解になるわけです

ゲスト

ありがとうございます。