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x^2-2xy-3y^2+6x-10y+8
x中心に考えて(yでもいいですが...)
x^2+(6-2y)x-3y^2-10y+8
x^2+(6-2y)x-(3y-2)(y+4)
(x-3y+2)(x+y+4)
生徒は当然区別がつきます。(それぞれabcd...hの名付けます)さらにここではA(3人のみ),B(3人のみ),C(二人のみ)という分類をする時を考えます。(理由は組で考えるのは難しいからとりあえず制限を設けて数を絞っていくため)
8人の中から3人選んでA。(8-3)の5人から3人選びBとすると自動的にCは決まるのでCは考えなくて良い。
よって
8C3×5C3=560通り
ここではこの中の1つの状況の
A(abc)B(def)C(gh)の場合を考える。
A,B,Cの垣根を取ると
Cは二人なので違いはわかる。
垣根を取る前
A(abc)B(def)C(gh)とA(def)B(abc)C(gh)は違うのだが、垣根を取ることによって
abc,cde,ghという組となり同じになる。同様にやっていくと
垣根を取る前と垣根を取ったあとでは考えられる通りの数が
2:1に対応する。よって2で割って
560÷2=280通り...(答)
2つの自然数をa,bとする。ここでaとbを変えても一般性は崩れないことからa<bとする。すると条件よりaとbは互いに素な自然数a',b'を用いて
a=18a'、b=18b'と書ける。(ただしa<bよりa'<b')
さらに最小公倍数は18a'b'と書ける。(∵最小公倍数の定義)
条件より
18a'b'=1260
a'b'=70
ここでa,bは共に3桁であるから、
1000>18a'>100
55.55...>a'>5.55...よってa'は自然数であることを踏まえるとa'は6以上55以下
同様にb'も6以上55以下。
a'は自然数、b'も自然数。さらにa'とb'は互いに素であるかつa'<b'かつともに6以上55以下であることを用いると70=2×5×7であるから
(a',b')=(7,10)
よって
(a,b)=(126,180)
よって自然数の組は126,180...(答)
ありがとうございます!
垣根をとったあとabc,cde,ghとなってますが
abc,def,ghですねごめんなさい