Question

ブドウくん

先生が異なる2点を通るようなベクトル方程式について、t:(1-t)の内分と考えると言っていましたが、理解できませんでした。
先生の言いたいことが汲み取れた方、教えてください。

Answer 1

煮干し

線分ABを考えます。
線分全体が10の長さと考えます。線分上に点Pを設定する。
Pは線分を2:8に内分するとします。するとAP＝2
PB＝8となりますね。ここまで理解しやすいです。
2:8は1:4、(1/4):1というように比は実数倍しても表せる事ができます。
また、全体の長さは各辺の比の和の実数倍で表せる。
ここでは2:8なので、2+8＝10で10k
1:4は1+4＝5で5k(kは任意の実数)

そして、t:(1-t)の時、t+(1-t)＝1
つまり、線分全体の長さを1とした時の辺の比を示しています。辺の比は実数倍をしても性質は変わらないことを利用しているのだと思います。

ブドウくん

全体の長さを1として考えることじたいは、ベクトル方程式に入る前からやってることなので、わかるんですが
そこから
→ → →
P =(1-t) a + tb
になる理由がわからないです。
教えてください

煮干し

分点から平行線を引くとわかりやすいと思います。

煮干し

文だけでは自分も意味不明でしたので式にしてみますm(__)m
直線のベクトル方程式の基本形は
p→＝a→+td→・・①
d→は方向ベクトルでtは実数
①はp→(OP→)を式で表したものです。
では2点ABを通る場合、

求めたい式:点A,Bを通過する直線上のベクトルp→(OP→)
直線のベクトル方程式なので
①から
p→＝a→+td→
点A、Bを通るので方向ベクトルd→はAB→
d→＝AB→
AB→＝OB→-OA→＝b→-a→(Oは基点)
p→＝a→+t(b→-a→)＝(1-t)a→+tb→

図形の方かと勘違いしてましたm(__)m
ベクトル方程式の方でしたね…すみません。