単振動を習い始めたんですが、かなり重い問題を持ってこられました。どなたか教えてください。🙇♂️

単振動を習い始めたんですが、かなり重い問題を持ってこられました。

✨ ベストアンサー ✨

@Ganymede＋

約8年前

【解答例】単振動(単振り子)
方針: 角振幅(θ0とする)がわかればおもりの最大の高さ H が求まる。

鉛直からのふれの角をφとおく。

(1) 右向きに加速度 a で運動しているので、台の上から見た座標系へ変換すると、

見かけの重力加速度 g' は、
g' = √[g^2 + a^2] ...[1]

見かけの重力と糸の張力 T がつり合うとき、[1]式より

T = mg' = m√[g^2 + a^2] ...[2]

このときの鉛直からのふれの角をφ'とすると、
tanφ' = a/g ...[3]
φ'は微小角なので、tamφ' ≒ φ' = a/g ...[3]

※（中略）

はじめにおもりは鉛直方向につるされていたので、
φ'=a/gを中心として角振幅 θ0 = a/g の単振動をする。

よって鉛直からのふれの角の最大値は、2φ' = 2a/g ...[4]

したがって最大の高さ H は、
H
= L - Lcos(2φ')
= L * (1 - cos(2a/g)) ...[5]

※ちゃんと考えてみると、
角度φ'からの糸の角度をθとすると、
θ = φ'sin(ω't+δ)　(ω':角速度、δ:初期位相)
t=0でθ=-φ'より、δ=-π/2
よって、θ = φ'sin(ω't-π/2)
ゆえに
φ = φ' + θ = φ' + φ'sin(ωt-π/2) = φ'(1 - cosω't)
周期を T' とすると、T' = 2π√[L/g']より、ω'は、
ω' = 2π/T' = √[g'/L]
∴　φ = (a/g)*{1 - cos(√[(√[g^2 + a^2])/L])t}
時刻　t　での高さ h は、
h = L - Lcosφ = L * (1 - cosφ)

【補足】
単振動の振幅 x0 とすると単振動での位置 x は、
x = x0 * sin(ωt+δ)
角振幅をθ0として、鉛直からのふれの角をθとすると
x = L*θ, x0 = L*θ0
よって、
θ = θ0 * sin(ωt+δ)

かーず約8年前

ありがとうございます！
日が経ってしまい、ごめんなさい🙇‍♂️
tanφは微小角なのでというところがわかりません。
教えてくださるとうれしいです…

かーず約8年前

ちなみに自分はこうやったんですが、だめだめですかね？

@Ganymede＋約8年前

θが微小な角のとき、

sinθ ≒ θ
tanθ ≒ θ

という近似が成り立ちます。

y = sinθ
y = tanθ
y = θ
をそれぞれθで微分すると、
y' = cosθ
y' = 1/(cosθ)^2
y' = 1
ここで、θが微小角としてθ→0とすると、すべてy' = 1となります。
つまりθ→0付近の原点近くでは
y=sinθ
y=tanθ
はy=θとみなしてもよいということです。

詳しくは数学でテーラー展開(あるいはマクローリン展開)という概念を調べてみるとよいかもしれません。

sinθ= θ - θ^3/3! + θ^5/5! +.....
θの高次の項を無視して、sinθ≒θ
というように考えることができます。

かーず約8年前

難しいですね、ありがとうございます。
僕のやつの方はどうですか？

@Ganymede＋約8年前

tanとcosの公式でtanに2乗をつけ忘れています。
あと逆数をとるときに誤りがあるため、二箇所の誤りがありそうです。

(tanθ)^2 + 1 = 1/(cosθ)^2
(a/g)^2 + 1 = 1/(cosθ)^2
a^2/g^2 + 1 = 1/(cosθ)^2
(a^2+g^2)/g^2 = 1/(cosθ)^2
∴ (cosθ)^2 = g^2/(a^2+g^2)

cos2θ = 2(cosθ)^2 - 1
= 2g^2/(a^2+g^2) - 1
= 2g^2/(a^2+g^2) - (a^2+g^2)/(a^2+g^2)
= (g^2-a^2)/(g^2+a^2)

H = L - L cos2θ
= L｛1 - (g^2-a^2)/(g^2+a^2)｝
= L｛2a^2/(g^2+a^2)｝

となります。

tanθ≒θと近似した式
H'=L｛1 - cos(2a/g))
として、L=1 m, a=1.0 m/s^2, g=10 m/s^2を代入して比較してみると、

H=0.019819819819...
H'=0.01993342216...
となりH≒H'≒0.02 m/s^2 としてほぼ一致します。

単振動と近似している時点で微小角なので、
tanθ≒θとしましたが、
問題文に明記されていない今回のような場合は、tanθからcos2θを導いた方がよかったかもしれません。
とはいえ、cos2θの2θ自体が単振り子を単振動とみなした近似が含まれているため、
H = L｛2a^2/(g^2+a^2)｝
H'= L｛1 - cos(2a/g))
のどちらも式も本来は、
H ≒ L｛2a^2/(g^2+a^2)｝
H'≒ L｛1 - cos(2a/g))
と近似式であり、解答としてはどちらでも大丈夫だと思います。