全て同じ関数の式なので、積分値の範囲が0→1→1→3→3→4
としりとりになっているので、上から下を引いて積分する際、上手い具合に同じモノが２つできるので×2としているのです。
実際に展開してみればわかりますが、最初から見通しを立てて、解答書の通り計算した方が簡単だよ。ということです。
回答
右下の解説にあるように
S=[F(1)−F(0)]−[F(3)−F(1)]+[F(4)−F(3)]
= F(1)−F(3)+F(1)+F(4)−F(3)
=2F(1)−2F(3)+F(4)
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