Question

晴季

計算の仕方を教えてください。

数ⅲ

Answer 1

hizumi

うーん、やり方が2通りあるのですが、とりあえず置換して部分積分する方法を解説します.
直接部分積分する場合は∫logx/x^2 dx＝∫(-1/x)'logx dxとしてやるだけですので、あとでこちらは自分でやってみてください.
※置換して部分積分する方法は汎用性の高さからこちらを解説することにしました.
【解答】
t＝logxとおくと、x＝e^tでもあり、両辺をtで微分するとdx/dt＝e^t→dx＝e^t dt
よって、∫logx/x^2 dx =∫t/(e^t)^2 •e^t dt
=∫t/e^t dt
＝∫te^(-t) dt ←これを部分積分する。
＝t•-e^(-t)-∫1•-e^(-t)dt
＝【部分積分解説】部分積分は,微分する方はそのまま×微分しない方はここだけ微分 マイナス ∫微分する×微分しない→マイナス （積分を計算したやつ）マイナス ∫ 微分する×微分しない…と,微分する方の関数が微分できなくなるまで,この作業が繰り返されます.微分する関数をどちらを選ぶか迷ったら,三角関数sin cos等やeは避けた方が良いです,できるだけ微分しまくったら,いつかは微分できなくなる方を選びます.※説明下手ですみません.私の説明がわかりにくければ,ここは読み飛ばしても結構です.代わりに教科書やチャート等の説明を参照して下さい.
＝t•-e^(-t)-∫1•-e^(-t)dt←tがこの時点で微分不可能な1まで持っていけたので,部分積分の作業は終了.あとは積分を普通に外すだけ.
＝t•-e^(-t)-∫1•e^(-t)dt+C'
＝t•-e^(-t)-1•-e^(-t)+C
＝-e^(-t)(1+t)+C
=-(1+logx)/x+C
あとは1〜eの範囲ですので,xに代入して,
＝-(1+1)/e-(-(1+0)/1)
=-2/e+1
こんな感じかな.