与式を部分積分すると、sinの逆関数の形が出てくるからです。そこで頭のいい先人(せんじん)がsinθと置いたら、上手く置換積分できたので、経験則としてsinと置換しているのではないかと思います。
また、参考までに、sinの逆関数Arcsinを使えば、
∫dx/√(a^2-x^2)=Arcsin(x/a)+C(Cは積分定数)と書き表すことができます。
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