Question

けいすけ

問題番号491の(2)を教えてください。解説もお願いします。

Answer 1

ぽーん

S=1+2x+3x²+……………+nxⁿ⁻¹ →①
xS= x+2x²+3x³+…+(n-1)xⁿ⁻¹+nxⁿ →②

①-②より
(1-x)S=1+x+x²+x³+…+xⁿ⁻¹-nxⁿ
=(1-xⁿ)/(1-x)-nxⁿ
={(1-xⁿ)-nxⁿ(1-x)}/(1-x)
=(1-xⁿ-nxⁿ+nxⁿ⁺¹)/(1-x)
={nxⁿ⁺¹-(n+1)xⁿ+1}/(1-x)
よって
S={nxⁿ⁺¹-(n+1)xⁿ+1}/(1-x)²