三次関数までは接線の数は接点の数に等しくなります。
そのことを利用して解いていきます。
まず、y=x^3-6x^2=f(x)とおきます。
(0,1)を通りf(x)と接するときのf(x)上の点を{s,f(s)｝とおきます。
f’(x)=3x^2-12x
f’(s)=3s^2-12s…①
ゆえに接線の傾きは①とわかります。
ここで、接線は(0,1),｛s,f(s)｝を通るので、xの増加量分のyの増加量より
f(s)-1/s…②
②も傾きとなるので、
①=②をするとsの三次方程式が出てくるので、その三次方程式がいくつの解を持つかを調べればそれが接点の数になり、それは接線の数を表すのでそれで終わりです。
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すみません。
4行目少し訂正です。
(0,1)を通る「直線」がf(x)と接するとき…ですね
直線と書くのがぬけてました。