Question

ぺー

教えてください！！

Answer 1

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チャート

この楕円上を動く点Pの座標は(2cosθ、sinθ)とおける。(0≦θ<2π)

このとき、
3x^2 −16xy −12y^2
=3(2cosθ)^2 −16(2cosθ)sinθ −12(sinθ)^2
=12(cos^2 θ −sin^2 θ) −16(2sinθcosθ)
=12cos2θ−16sin2θ
(∵cos^2 θ −sin^2 θ =cos2θ、2sinθcosθ=sin2θ)
=20sin(2θ+α)…①
(αは、sinα=3/5、cosα=−4/5 を満たす角)

0≦θ<2π、つまりα≦2θ+α≦4π+αより、
−1≦sin(2θ+α)≦1
よって①が最大値を取るのは、sin(2θ+α)=1のとき、
つまり、2θ+α=5/2π、9/2π …(❇︎1)
→ θ=5/4π−α/2…②、9/4π−α/2…③

②のときPの座標は
{2cos(5/4π−α/2)、sin (5/4π−α/2)}
={2(cos 5/4π cos α/2 + sin 5/4π sin α/2)、
sin 5/4π cos α/2 − cos 5/4π sin α/2}…(❇︎2)
={2(−√2/2×1/√10 −√2/2×3/√10)、
−√2/2×1/√10 +√2/2×3/√10}
=(−4√5 / 5、√5 / 5)

③のときも同様にして、(4√5 / 5、−√5 / 5)

〔❇︎1…sinα>0、cosα<0より、π/2 < α < π
よってπ/2 < 2θ+α < 5π〕
〔❇︎2…半角の公式より、
cos^2 α/2 = (1+cosα)/2 =1/10
sin^2 α/2 = (1−cosα)/2 =9/10〕

媒介変数表示を用いて計算しましたが、ここまで煩雑になるとは思いませんでした。
もっと良い解法がありそうですし、そもそも計算も間違えていそうなので、それほどあてにならないかもしれません。解答が長くなったためわかりにくい部分もあると思いますので、そのときはまた聞いてください

ぺー

答えあってます！！
媒介変数という発想、なかったです…非常にわかりやすいです！
こんな大変な計算していただき感謝します！