Question

ミー太郎

この解説の因数10がなぜそうなるかがわかりません。教えてください！

整数の性質 自然数の積と素因数の個数

Answer 1

さき

末尾が0ということは10の倍数が入っていますよね。
(例)120＝12×10 1800＝18×100＝18×10×10
そして、その10を素因数分解すると10＝2×5になるわけです。
じゃあ1から40を全てかけた中で2の倍数と5の倍数は幾つになるのでしょうか？
これを考えるときには、1から40の中にいくつ素因数2又は5が含まれているかを調べます。

まず2の倍数。これは20個。
次に2 ²の倍数。これは10個。
2 ³の倍数。5個。
2 ⁴の倍数。2個。
2 ⁵の倍数。1個。
2 ⁶(＝64)からは40より大きいので数えられません。
つまり2の素因数は38個あるのです。
同様に5の素因数について調べます。
5の倍数。8個。
5 ²の倍数。1個。
5 ³(＝125)からは40より大きいので数えられません。
つまり5の素因数は9個あるのです。
さて10はいくつ作れるでしょう？
10を作るには2の素因数1個と5の素因数1個が必要なのです。
2の素因数38個と5の素因数9個で、10の素因数は9個しか作れません。
これは、5の素因数の数と同じですよね。
じゃあ、余った2はどうするの？
2は余っても5がなければ10は作れません。

素因数2の個数が5の個数より多いのはわかりますよね。
「２ずつ」と「５ずつ」とでは「５ずつ」の方が感覚が広いから。

というわけで、素因数5の個数を調べれば因数10の個数がわかり、末尾の0の数もわかるのです。

Answer 2

ぽきー

因数10の個数は因数2の個数と因数5の個数を考える。
1〜40の中で因数2と5の個数はぴったり一致しないからどっちかが余ると思ってください。
例えば2が6個、5が4個あったとしたら
因数10の個数は4個って言えますよね。
6個と答えたらアウトです。
2個、2の方が多いので作れる10は4個です。
このことをその解説はいっているのです。