Question

巴玖

教えてください！

*<2x のとき, 次の方程式を解け。
) 2sin *十cos*)ニ6        (2) smァ二3 cosをニー1

信和和II

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ルーシー

どうぞ

巴玖

ありがとうございます!!
(2)も同様ですか??

巴玖

ありがとうございます!

Answer 2

にゃんこ

なんども、失礼します。
確かに三角関数の合成のほうが楽ですね

2(sinx+cosx)=√6

両辺×1/2

⇔sinx+cosx=(√6)/2

cosx=√(1-sin²x)を代入

⇔sinx+√(1-sin²x)=(√6)/2

↑ここのところでsinxについてとけば、

sinx=(√6-√2)/4, (√6+√2)/4

となり、答えは一致します。。。

二乗して展開して計算したため答えがずれてしまったようです...

Answer 3

にゃんこ

2(sinx+cosx)=√6

両辺×1/2

⇔sinx+cosx=(√6)/2

cosx=√(1-sin²x)を代入

⇔sinx+√(1-sin²x)=(√6)/2

sinx=Xと置いて、両辺を二乗

⇔｛(X+√(1-X²)｝²=｛(√6)/2｝²

⇔X²+2X√(1-X²)+1-X²=6/4=3/2

整理する

⇔2X√(1-X²)=1/2

両辺×1/2

⇔X√(1-X²)=1/4

Xを√の中へ

⇔√｛X²(1-X²)｝=1/4

⇔√(X²-X⁴)=1/4

両辺を二乗

⇔X²-X⁴=1/16

左辺=0の形にする

⇔X²-X⁴-1/16=0

両辺を(-1)倍

⇔X⁴-X²+1/16=0

...これをガジガジやると、、、

X₁=-｛√(2+√3)｝/2

X₂=-｛√(2-√3)｝/2

X₃= ｛√(2+√3)｝/2

X₄= ｛√(2-√3)｝/2

これより、xを求めるには、逆関数sin⁻¹とかを使わないと表せません

巴玖

わざわざありがとうございます!!!

Answer 4

にゃんこ

2(sinx+cosx)=√6

両辺×1/2

⇔sinx+cosx=(√6)/2

cosx=√(1-sin²x)を代入

⇔sinx+√(1-sin²x)=(√6)/2

sinx=Xと置いて、両辺を二乗

⇔｛(X+√(1-X²)｝²=｛(√6)/2｝²

⇔X²+X√(1-X²)+1-X²=6/4=3/2

⇔X√(1-X²)+1=3/2

1を右辺に移行して、Xを√の中へ

⇔√｛X²(1-X²)｝=(3/2)-1

⇔√(X²-X⁴)=1/2

両辺を二乗

⇔X²-X⁴=1/4

左辺=0の形にする

⇔X²-X⁴-1/4=0

両辺を(-1)倍

⇔-(X⁴-X²+1/4)=0

因数分解する

⇔-(X²-1/2)²=0

両辺を(-1)倍

⇔(X²-1/2)²=0

両辺に√を被せる

⇔X²-1/2=0

-1/2を右辺へ移行

⇔X²=1/2

計算する

⇔X=±(√2)/2

X=sinxだから、

⇔sinx=±(√2)/2

範囲は0≦x<2πだから、

sinx(cosx)は範囲0≦x<2πでは、値を２つとる。

sinx=cosx=(√2)/2
のとき、
x=π/4

sinx=cosx=-(√2)/2
のとき、
x=7π/4

よって、
x=π/4, 7π/4

にゃんこ

あ、すみません、途中計算間違えてます。
今すぐ訂正版出します🙇‍♂️

Answer 5

にゃんこ

sin²x+cos²x=1

より、

cosx=√(1-sin²x)

を用いて、
sinだけの式で表して、sinx=Xと置く。
あとは、2次方程式と同じように解く。
ただし、

範囲0≦x2π

に注意する

巴玖

こういうことですか??
ここから計算出来ません😅

巴玖

解く過程、答えも教えて貰っても良いでしょうか？