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そもそも、
sin²x=(1-cos2x)/2
だしな...
まいっか。
上側(n=2k-1)のときは、なぜ0になるか？
→sin((n-1)π/2)に注目。
nに2k-1を代入すると、
sin((2k-2)π/2)。
2k-2は偶数(0も含む)だから、sin((偶数)π/2)=0
( sin(2π/2)=0, (4π/2)=0, 0°と180°...になる。)
よって、
2ⁿ⁻¹*0=0
下側の(n=2k)のときは、なぜ2²ᵏ⁻¹*(-1)ᵏ⁻¹になるか？
→sin((n-1)π/2)に注目。
nに2kを代入すると、
sin((2k-1)π/2)。
2k-1は奇数だから、sin((奇数)π/2)=±1
(sin(π/2)=1, (3π/2)=-1, 90°と270°...になる。
写真にもあるように、
f"(x)がx=0のとき、
f"(0)=2*1
f⁽⁴⁾(x)がx=0のとき、
f⁽⁴⁾(0)=2³*(-1)
である為には、
二階微分の時のsin((n-1)π/2)は、1
四階微分の時のsin((n-1)π/2)は、-1
でなければならないから、
n=2kのとき、
sin((2k-1)π/2)=(-1)ᵏ⁻¹
よって、
2ᵏ⁻¹*sin((2k-1)π/2)=2ᵏ⁻¹*(-1)ᵏ⁻¹
...タグが高校生の分野での投稿となっていますが、
テイラー展開とかマクローリン展開ってのは、
高校数学じゃ習いませんよね？(一般的な高校では)
プロフィール見させて貰いましたけど、
高専の数学なら高専3年以上は大学レベルの内容となっていますので、大学生のタグで投稿すると回答者も豊富にいると思いますよ。
詳しい説明ありがとうございます！わかりました。