Question

ひび

至急！数1です。解き方を教えてください。

場合の数 整数 整数と整式、有理数と有理式の類似

Answer 1

ジャガー

6084=78^2です。
(6084=2^2 × 3^2 × 13^2)

xとyの条件を絞って求めていきます。

x=3kの場合、x^2は3で割り切れ、
x=3k+1の場合、x^2=3(3k^2+2k)+1
x=3k+2の場合、x^2=3(3k^2+2k+1)+1

つまり、xが3の倍数ならx^2は3の倍数
xが3の倍数でなければx^2は3で割ると1余る

という事がわかりました。

「xが3の倍数、yが3の倍数でない」とすると、
x^2+y^2は、3で割ると1余ります。
でも、78は3の倍数ですので、不適ですね。

「x,y共に3の倍数でない」とすると、
x^2+y^2は、3で割ると2余ります。
これも、同じ理由で不適ですね。

以上のことから、x,yは共に3の倍数ですから、
x=3m,y=3nとおくと、与えられた等式はこのようになります。

m^2+n^2=26^2

ジャガー

m^2+n^2=26^2(=2^2 × 13^2)について

長いですけど、同じように絞っていきます。

mが偶数なら、m^2は4の倍数
mが奇数なら、m^2は4で割ると1余る

上と同じような考えでm,nのどちらかが奇数だと、
m^2+n^2は4の倍数でなくなるので、m,nは両方偶数でないといけません。

改めてm=2a ,n=2b とおくと、等式は次のようになります。
a^2+b^2=13^2

ジャガー

あとは、ゴリ押しです笑
a^2=13^2-b^2として、右辺のbを操作して何かの二乗になるようにもとめると、

(a,b)=(0,13),(5,12),(12,5),(13,0)

元のx,yは正の整数なので0は考えずに

(a,b)=(5,12),(12,5)より、
(m,n)=(10,24),(24,10)なので、
(x,y)=(30,72),(72,30)

以上です。
簡単に求める方法は思いつかなかったです。