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4個の数の場合は、1が2、3、4のいずれかのカードを持つことを利用して場合分けします。
1が2を持つとき、残った1、3、4のカードを被らないように2、3、4の人に振り分ける順列は、以下の3通りです。(1、4、3)、(3、4、1)、(4、1、3)
1が3、4のカードを持つ場合も同様に3通りずつあるので、結局4個の数の完全順列の総数は、
3×3=9(通り)です。
5個の数の場合も、まず5の人が1、2、3、4のいずれかのカードを持つことを利用して場合分けします。
そこから残る4人の順列を数えるのも大変なので、4の人が5のカードを持つかどうかでさらに場合分けしていきます。
5の人が4のカードを持ち、4の人が5のカードを持つときは、残る1、2、3のカードを1、2、3の人に被らないように振り分けます。これは結局3個の数の完全順列なので、さっき求めた2通りしかありません。
5の人が4のカードを持ち、4の人が5のカードを持たないときは、4の人は1、2、3のいずれかしか持てないので、4の人が5のカードを自分のカードとみなしているのと同じです。だから、この4人のカードの持ち方は4個の数の完全順列になっています。これもさっき求めた9通りと求まります。
5の人が2、3、4のカードを持つときも同じ結果になります。したがって、5個の数の完全順列の総数は、
4×(2+9)=44(通り)です。
ここまで、解説と似たようなことを長々と書いてしまいましたが、いくつか行間を補ってみたつもりです。
わかりにくいところがあれば質問してください。
